Question

Cho x,y,z là 3 số dương có tổng bằng 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(M=\frac{x+y}{xyz}\)

Answer 1

Ta có

\(x+y+z=1\Leftrightarrow\left(x+y+z\right)^2=1\Leftrightarrow\left[\left(x+y\right)+z\right]^2=1\\ \Leftrightarrow1=\left[\left(x+y\right)+z\right]^2\ge4\left(x+y\right)z\left(bđtAM-GM\right)\\ \Leftrightarrow\frac{x+y}{xyz}\ge\frac{4\left(x+y\right)^2z}{xyz}\ge\frac{4\cdot4xy\cdot z}{xyz}=16\)

(nhân cả hai vế với \(\frac{x+y}{xyz}\))

Vậy min A = 16 khi

\(\left\{{}\begin{matrix}x+y=z\\x=y\\x+y+z=1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow x=y=\frac{1}{4},z=\frac{1}{2}\)

P.s: Cái chỗ bđt AM-GM bạn có thể thay bằng việc c/m bđt dưới để áp dụng vào bài toán:

\(\left(a+b\right)^2\ge4ab\)