Ta có \(2x+yz=\left(x+y+z\right)x+yz=xy+xz+x^2+yz=\left(x+y\right)\left(x+z\right)\)
\(\Rightarrow\sqrt{2x+yz}=\sqrt{\left(x+z\right)\left(x+y\right)}\le\dfrac{2x+y+z}{2}\left(Cauchy\right)\)
Tuơng tự \(\sqrt{2y+xz}\le\dfrac{2y+x+z}{2}\)
\(\sqrt{2z+xy}\le\dfrac{2z+x+y}{2}\)
Do đó
\(P\le\dfrac{3}{2}\left(x+y+z\right)=3\)
Cho x,y,z >0 thỏa mãn x+y+z = 2. Tìm GTLN của biểu thức
\(P=\sqrt{2x+yz}+\sqrt{2y+xz}+\sqrt{2z+xy}\)
Cho x,y,z >0 thỏa mãn \(x+y+z=2\) . Tìm GTLN của biểu thức \(P=\sqrt{2x+yz}+\sqrt{2y+xz}+\sqrt{2z+xy}\)
Cho x, y, z là ba số thực dương thỏa mãn \(xy+yz+xz\le3xyz\). Tìm GTLN của biểu thức :
\(P=\frac{1}{\sqrt{2x^2+xy+y^2}}+\frac{1}{\sqrt{2y^2+yz+z^2}}+\frac{1}{\sqrt{2z^2+zx+x^2}}\)
Cho x,y,z >0 thỏa mãn \(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}=3\). Tìm GTLN của biểu thức \(P=\dfrac{1}{\sqrt{5x^2+2xy+2y^2}}+\dfrac{1}{\sqrt{5y^2+2yz+2z^2}}+\dfrac{1}{\sqrt{5z^2+2xz+2x^2}}\)
Cho x,y,z > 0 ; \(\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}=1\).Chung minh:\(\sqrt{\frac{xy}{x+y+2z}}+\sqrt{\frac{yz}{y+z+2x}}+\sqrt{\frac{xz}{x+z+2y}}\\\)≤\(\frac{1}{2}\)
Cho x,y,z > 0 thỏa mãn x+y+z= 2. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
P= \(\sqrt{2x+yz}+\sqrt{2y+xz}+\sqrt{2z+xy}\)
Cho x, y, z > 0 và x + y + z = 1. Chứng minh rằng: \(\sqrt{2x^2+xy+2y^2}+\sqrt{2y^2+yz+2z^2}+\sqrt{2z^2+zx+2x^2}\ge\sqrt{5}\)
Cho các số x,y,z >0 thỏa mãn x+y+z = 12. Tìm GTLN của biểu thức: \(A=\sqrt{4x+2\sqrt{x}+1}+\sqrt{4y+2\sqrt{y}+1}+\sqrt{4z+2\sqrt{z}+1}\)
Tìm bộ ba số thực x, y, z thỏa mãn: \(\dfrac{2}{\sqrt{x}+2\sqrt{y}+3\sqrt{z}}-\dfrac{1}{2\sqrt{xy}+6\sqrt{yz}+3\sqrt{xz}}=\dfrac{1}{3}\)
