Violympic toán 9

Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài
Viêt Thanh Nguyễn Hoàn...

Cho x,y,z >0. Chứng minh rằng :

\(\dfrac{\sqrt{xy}}{1+\sqrt{yz}}+\dfrac{1}{\sqrt{xy}+\sqrt{yz}}+\sqrt{\dfrac{2\sqrt{yz}}{1+\sqrt{xy}}}\ge2\)

Akai Haruma
26 tháng 1 2021 lúc 13:11

Lời giải:

Gọi biểu thức đã cho là $P$. Đặt $\sqrt{xy}=a; \sqrt{yz}=b$ với $a,b>0$ thì ta cần chứng minh:

$P=\frac{a}{1+b}+\frac{1}{a+b}+\sqrt{\frac{2b}{a+1}}\geq 2$

Áp dụng BĐT AM-GM:

\(\frac{a+1}{2b}.1\leq \left(\frac{\frac{a+1}{2b}+1}{2}\right)^2=(\frac{a+1+2b}{4b})^2\)

\(\Rightarrow \sqrt{\frac{2b}{a+1}}\geq \frac{4b}{a+2b+1}(1)\)

Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz:

\(\frac{a}{1+b}+\frac{1}{a+b}=\frac{a+b+1}{b+1}+\frac{a+b+1}{a+b}-2=(a+b+1)(\frac{1}{b+1}+\frac{1}{a+b})-2\geq \frac{4(a+b+1)}{a+2b+1}-2(2)\)

Từ \((1);(2)\Rightarrow P\geq \frac{4(a+2b+1)}{a+2b+1}-2=2\) (đpcm)

 

 


Các câu hỏi tương tự
ITACHY
Xem chi tiết
Phạm Phương Anh
Xem chi tiết
Nguyễn Phan Văn Trường
Xem chi tiết
Nguyễn Hoàng Minh
Xem chi tiết
Luyri Vũ
Xem chi tiết
Nguyễn Tấn Dũng
Xem chi tiết
Luyri Vũ
Xem chi tiết
Bùi Đức Anh
Xem chi tiết
DRACULA
Xem chi tiết