Question

Cho x,y>0 thảo mãn x+y=1. Tìm GTNN, GTLN của A=x²+y²

Answer 1

Lời giải:

Tìm giá trị nhỏ nhất

Ta thấy: \(x^2+y^2-2xy=(x-y)^2\geq 0\)

\(\Rightarrow x^2+y^2\geq 2xy\)

\(\Rightarrow 2(x^2+y^2)\geq (x+y)^2\)

\(\Leftrightarrow 2A\geq 1\Rightarrow A\geq \frac{1}{2}\)

Vậy \(A_{\min}=\frac{1}{2}\Leftrightarrow x=y=\frac{1}{2}\)

Tìm GTLN:

Thay $y=1-x$ ta có: \(A=x^2+(1-x)^2=1+2x^2-2x\)

\(=1+2x(x-1)\)

Vì $y\geq 0$ nên \(x=1-y\leq 1\)

Vậy \(0\leq x\leq 1\Rightarrow x(x-1)\leq 0\)

\(\Rightarrow A=1+2x(x-1)\leq 1+2.0=1\)

Vậy \(A_{\max}=1\Leftrightarrow (x,y)=(1,0)\) và hoán vị.