Ta dễ dàng chứng minh được bđt \(\left|x+y\right|\ge\left|x\right|+\left|y\right|\), thật vậy
Có: \(x\le\left|x\right|\) và \(-x\le\left|x\right|\forall x\); \(y\le\left|y\right|\) và \(-y\le\left|y\right|\forall y\)
=> \(x+y\le\left|x\right|+\left|y\right|\) và \(-\left(x+y\right)\le\left|x\right|+\left|y\right|\)
hay \(x+y\ge-\left(\left|x\right|+\left|y\right|\right)\)
Do đó, \(-\left(\left|x\right|+\left|y\right|\right)\le x+y\le\left|x\right|+\left|y\right|\)
=> \(\left|x+y\right|\le\left|x\right|+\left|y\right|\)
Áp dụng bđt ta có:
\(\left|x-y\right|+\left|y\right|\ge\left|x-y+y\right|=\left|x\right|\)
\(\Rightarrow\left|x-y\right|\ge\left|x\right|-\left|y\right|\)
Dấu "=" xảy ra khi \(xy\ge0\)
|x-y| + |y| \(\ge\) ||x-y+y| = |x| => |x-y| \(\ge\) |x| - |y|
