Question

Cho x;y thoả mãn điều kiện : \(\sqrt{x+2}-y^3=\sqrt{y+2}-x^3\)

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(A=x^2+2xy-2y^2+2y+10\)

T.Thùy Ninh [tag cho có thông báo thoy ạ....:3 ]

Giúp tớ vs ạ ...Càng học càng ngu bmr

Answer 1

Theo đề bài ta có :

\(\sqrt{x+2}-y^3=\sqrt{y+2}-x^3\)

\(\Leftrightarrow x^3-y^3=\sqrt{y+2}-\sqrt{x+2}\)

\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)\left(x^2+xy+y^2\right)=\dfrac{y+2-x-2}{\sqrt{x+2}+\sqrt{y+2}}\)

\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)\left(x^2+xy+y^2\right)+\dfrac{x-y}{\sqrt{x+2}+\sqrt{y+2}}=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)\left(x^2+xy+y^2+\dfrac{1}{\sqrt{x+2}+\sqrt{y+2}}\right)=0\)

Dễ thấy: \(x^2+xy+y^2+\dfrac{1}{\sqrt{x+2}+\sqrt{y+2}}>0\)

=> \(x=y\)

Thay vào A, ta được :

\(A=x^2+2x^2-2x^2+2x+10=x^2+2x+10=\left(x+1\right)^2+9\ge9\)

Vậy GTNN là 9 khi \(x=y=-1\).