Lời giải:
Ta có:
\(x^2+2y^2+2xy-2(x+2y)+1=0\)
\(\Leftrightarrow (x^2+y^2+2xy-2x-2y+1)+(y^2-2y+1)=1\)
\(\Leftrightarrow (x+y-1)^2+(y-1)^2=1\)
\(\Rightarrow (y-1)^2=1-(x+y-1)^2\leq 1-0=1\)
\(\Leftrightarrow -1\leq y-1\leq 1\Leftrightarrow 0\leq y\leq 2\)
TH1: Nếu \(y=0\Rightarrow (x-1)^2+1=1\Rightarrow (x-1)^2=0\Rightarrow x=1\)
\(\Rightarrow S=2016.1^{2017}+2017.0^{2016}=2016\)
TH2: Nếu \(y=1\Rightarrow x^2+0=1\Leftrightarrow x^2=1\Rightarrow x=1\) (do $x$ là số tự nhiên)
\(\Rightarrow S=2016.1^{2017}+2017.1^{2016}=4033\)
TH3: Nếu \(y=2\Rightarrow (x+1)^2+1=1\Leftrightarrow (x+1)^2=0\Leftrightarrow x=-1\) (loại vì $x$ là số tự nhiên)
x^2 +2y^2 +2xy -2(x+2y) +1 =0
[x^2 +4y^2 +4xy ] -4(x +2y) +x^2 +2 =0
[(x +2y)^2 -4(x +2y) +4 ]+ x^2 -2 =0
(x +2y -2)^2 + x^2-2 =0
có (x +2y -2)^2 >= 0
=> x^2 -2 <=0
\(x\in N\Rightarrow x=\left\{0;1\right\}\) x=0 loại 2 không phải số cp => y không nguyên
\(x=1\Rightarrow\left|2y-1\right|=1=>y=0\) nhận x =1
\(S=2016x^{2017}+2017.x^{2016}\)
\(\Rightarrow S\left(1\right)=2016.1^{2017}+2017.1^{2016}=2016+2017=4033\)
