Question

Cho x,y là các số thực thỏa mãn x²+y²=1.Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

P=x+\(\frac{1}{x}\)+y+\(\frac{1}{y}\)

Answer 1

Số thực bất kì thì biểu thức này không tồn tại min

Số thực dương mới tồn tại min:

Ví dụ: cho \(x=-0.00001\) và \(y=\sqrt{1-x^2}\) và bấm máy bạn sẽ thấy vấn đề của "số thực"

Với số thực dương:

\(P=x+y+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\ge x+y+\frac{4}{x+y}\)

\(P\ge x+y+\frac{2}{x+y}+\frac{2}{x+y}\ge2\sqrt{\frac{2\left(x+y\right)}{x+y}}+\frac{2}{\sqrt{2\left(x^2+y^2\right)}}=2\sqrt{2}+\frac{2}{\sqrt{2}}=3\sqrt{2}\)

Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=\frac{1}{\sqrt{2}}\)