Ta có
\(B=\dfrac{1}{x^3+y^3}+\dfrac{1}{xy}=\dfrac{1}{\left(x+y\right)\left(x^2-xy+y^2\right)}+\dfrac{1}{xy}=\dfrac{1}{\left(x+y\right)^2-3xy}+\dfrac{1}{xy}\)
\(=\dfrac{1}{1-3xy}+\dfrac{1}{xy}=\dfrac{1}{1-3xy}+\dfrac{3}{3xy}\)
Vì \(x,y>0\)
Áp dụng bất đẳng thức Svac xơ ( BĐT cộng mẫu số )
\(B=\dfrac{1}{1-3xy}+\dfrac{3}{3xy}=\dfrac{1^2}{1-3xy}+\dfrac{\left(\sqrt{3}\right)^2}{3xy}\ge\dfrac{\left(1+\sqrt{3}\right)^2}{1-3xy+3xy}=\left(1+\sqrt{3}\right)^2\)
= > GTNN của B = \(\left(\sqrt{3}+1\right)^2\)
khi \(\dfrac{1}{1-3xy}=\dfrac{3}{3xy}\)
\(\Leftrightarrow xy=\dfrac{1}{4}\)
Ta phân tích
$x^{3}+y^{3}= (x+y)((x+y)^{2}-3xy)= 1-3xy A= \frac{1}{1-3xy}+\frac{1}{xy}$
Áp dụng bđt Bunhiacopxki
$\frac{1^{2}}{1-3xy}+\frac{1^{2}}{xy} \geq \frac{4}{1-2xy}$
mà áp dụng bđt cosi ta lai có
$2xy\leq \frac{(x+y)^{2}}{2}$=$\frac{1}{2}$
$=> A \geq \frac{4}{1-\frac{1}{2}}=8$
Dấu bằng xảy ra <=> x=y=1/2
