Question

Cho x,y là 2 số thức thỏa mãn \(\sqrt{x+1}+\sqrt{y+1}=\sqrt{2}\left(x+y\right)\)

Tính giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất cua P=x+y

Answer 1

Lời giải:

$\sqrt{x+1}+\sqrt{y+1}=\sqrt{2}(x+y)$

$\Rightarrow 2(x+y)^2=x+y+2+2\sqrt{(x+1)(y+1)}(*)$

$\leq x+y+2+(x+1)+(y+1)$ (theo BĐT AM-GM)

Hay $2(x+y)^2\leq 2(x+y)+4$

$\Leftrightarrow (x+y)^2\leq (x+y)+2$

$\Leftrightarrow P^2\leq P+2$

$\Leftrightarrow (P+1)(P-2)\leq 0\Rightarrow P\leq 2$ hay $P_{\max}=2$

Mặt khác: Từ $(*)\Rightarrow 2(x+y)^2\geq x+y+2$

$\Leftrightarrow 2P^2\geq P+2$

$\Rightarrow P\leq \frac{1-\sqrt{17}}{4}$ hoặc $P\geq \frac{1+\sqrt{17}}{4}$

Mà $P$ luôn không âm nên $P\geq \frac{1+\sqrt{17}}{4}=\min$

Vậy..........