Question

Cho x,y \(\in Z\) chứng minh rắng:

\(N=\left(x-y\right)\left(x-2y\right)\left(x-3y\right)\left(x-4y\right)+y^4\) là số chính phưang

Answer 1

\(\Leftrightarrow N=\left[\left(x-y\right)\left(x-4y\right)\right]\left[\left(x-2y\right)\left(x-3y\right)\right]+y^4\)

\(\Leftrightarrow N=\left(x^2+4y^2-5xy\right)\left(x^2-5xy+6y^2\right)+y^4\)

Đặt \(t=x^2+4y^2-5xy\)

Khi đó

\(N=t\left(t+2y^2\right)+y^4=t^2+2ty^2+\left(y^2\right)^2=\left(y^2+t\right)^2=\left(x^2-5xy+5y^2\right)^2\)

=> N là số chính phương