Theo đề ra ta có
\(\frac{x}{y}=\frac{z}{x};\frac{y}{x}=\frac{z}{y};\frac{z}{x}=\frac{y}{z}\)
\(\Rightarrow\frac{x}{y}=\frac{y}{z}=\frac{z}{x}\)
Áp dụng tc của dãy tỉ số bằng nhau ta có
\(\frac{x}{y}=\frac{y}{z}=\frac{z}{x}=\frac{x+y+z}{x+y+z}=1\)
\(\Rightarrow\begin{cases}x=y\\y=z\\z=x\end{cases}\)
=> x=y=z (đpcm )
Ta có : \(x^2=yz;y^2=xz;z^2=xy\)
\(\Rightarrow\frac{x}{y}=\frac{z}{x};\frac{x}{y}=\frac{y}{z};\frac{z}{x}=\frac{y}{z}\)
\(\Rightarrow\frac{x}{y}=\frac{y}{z}=\frac{z}{x}\)
Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau , ta có :
\(\frac{x}{y}=\frac{y}{z}=\frac{z}{x}=\frac{x+y+z}{y+z+x}=1\) ( vì trùng nhau )
\(\Rightarrow x=y;y=z;z=x\)
\(\Rightarrow x=y=z\)
Cộng các đẳng thức trên với nhau được :
\(x^2+y^2+z^2=xy+yz+zx\)
\(\Leftrightarrow2\left(x^2+y^2+z^2\right)=2\left(xy+yz+zx\right)\)
\(\Leftrightarrow\left(x^2-2xy+y^2\right)+\left(y^2-2yz+z^2\right)+\left(z^2-2xz+x^2\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2+\left(y-z\right)^2+\left(z-x\right)^2=0\)
Mà \(\left(x-y\right)^2\ge0\) , \(\left(y-z\right)^2\ge0\) , \(\left(z-x\right)^2\ge0\)
\(\Rightarrow\left(x-y\right)^2+\left(y-z\right)^2+\left(z-x\right)^2\ge0\)
Do đó dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi x = y = z
Vậy x = y = z
