Question

cho x, y, z >0 và thỏa mãn \(x+y+z\ge12\). Tìm GTNN của P=\(\dfrac{x}{\sqrt{y}}+\dfrac{y}{\sqrt{z}}+\dfrac{z}{\sqrt{x}}\)

Answer 1

TA có \(P^2=\dfrac{x^2}{y}+\dfrac{y^2}{z}+\dfrac{z^2}{x}+2\left(\dfrac{xy}{\sqrt{yz}}+\dfrac{yz}{\sqrt{zx}}+\dfrac{zx}{\sqrt{xy}}\right)\)

Áp dụng BĐt AM-GM, ta có \(\dfrac{x^2}{y}+\dfrac{xy}{\sqrt{yz}}+\dfrac{xy}{\sqrt{yz}}+z\ge4x\)

tương tự rồi cộng lại, ta có \(P^2+\left(x+y+z\right)\ge4\left(x+y+z\right)\Rightarrow P^2\ge3\left(x+y+z\right)\ge36\Rightarrow P\ge6\)

dấu = xảy ra <=> x=y=z=4