Question

Cho x, y thỏa mãn điều kiện:\(\left(y+\sqrt{1+y^2}\right)\left(x+\sqrt{1+x^2}\right)\)

Tính giá trị của biểu thức x⁷+y⁷+2x⁵+2y⁵-3x³-3y³+4x+4y+100

Mong được các bạn giúp đỡ !!!

Answer 1

\(\left(y+\sqrt{1+y^2}\right)\left(x+\sqrt{1+x^2}\right)=1\)

\(\Leftrightarrow x+\sqrt{1+x^2}=\sqrt{1+y^2}-y\) (nhân liên hợp 2 vế)

Tương tự ta có: \(y+\sqrt{1+y^2}=\sqrt{1+x^2}-x\)

Cộng vế với vế:

\(x+y+\sqrt{1+x^2}+\sqrt{1+y^2}=\sqrt{1+y^2}+\sqrt{1+x^2}-x-y\)

\(\Rightarrow2\left(x+y\right)=0\)

\(\Rightarrow x+y=0\) \(\Rightarrow y=-x\)

\(P=x^7+\left(-x\right)^7+2\left(x^5+\left(-x\right)^5\right)-3\left(x^3+\left(-x\right)^3\right)+4\left(x-x\right)+100=100\)