Question

Cho tứ giác ABCD. Gọi M, N, P, Q, R, S lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng AB, BC, CD, DA, AC, BD. Chứng minh rằng :

a/ Các tứ giác MRPS và RQSN là các hình bình hành

b/ MP, NQ, RS đồng qui.

Answer 1

a) gợi ý *)

CM MR là đường trung bình của tam giác ABC => MR//BC và MR = 1/2 BC

SP là đường trung bình của tam giác DBC => SP// BC và SP = 1/2 BC

=> MR = SP (=1/2 BC ) và MR// SP (//BC)

=> MRPS là hình bình hành

*) CM +)QR là đường trung bình của tam giác ADC => QR =1/2 DC và QR //DC

+) SN là đường trung bình của tam giác BDC => SN=1/2 DC và SN//DC

=> QR = SN (=1/2 DC ) và QR // SN ( //DC)

=> QRNS là hình bình hành

b)

Gọi O là trung điểm của SR (1)

QRNS là hình bình hanh => QN và SR cắt nhau tại trung diểm của mỗi đường (t/c)

mà O là trung điểm của SR => O là trung điểm của QN (2)

MRPS là hình bình hành => MP và SR cắt nhau tại trung điểm mỗi đường (T/C)

mà O là trung điểm của SR

=> O là trung điểm của MP (3)

Từ (1) ; (2) ; (3) = > MP ; SR ; NQ đồng quy tại O