cho tứ giác ABCD có hai đường chéo AC và BD vuông góc với nhau
a. gọi E, F,G,H lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC,CD,DA. chứng minh rằng EFGH là hình chữ nhật
b. goi I,J,K,L lan luot la trung diem cua cac canh EF,FG,GH,HE. chứng minh rằng IJKL là hình thoi
c.goi M,N,P,Q lần lượt là trung điểm của các cạnh IJ,JK,KL,LI. chứng minh rằng IJKL là hình thoi
d, khi AC vuông góc với BD và AC=BD thì các tứ giác trên là hình gì? vì sao
a) E là trung điểm AB (gt)
H là trung điểm AD (gt)
=> EH là đường trung bình của tam g ABD
=> EH // BD, EH = BD/2 (1)
tương tự cm FG là đường trung bình của tam g BDC
=> FG // BD, FG = BD/2 (2)
từ (1) và (2) => HE // FG, HE = FG
=> EFGH là HBH
H là trung điểm AD (gt)
Glà trung điểm DC (gt)
=> HG là đường trung bình của tam g ADC
=> HG // AC
AC vuông BD (gt)
=> HG vuông BD
BD // HE (HE là đường trung bình của tam g ABD)
=> HG vuông HE
HBH EFGH có ^EHG =90ĐỘ ( cmt)
=> EFGH là HCN (vì là HBH có 1 góc vuông)
b) nối E vs G, F vs H
L là trung điểm EH (gt)
I là trung điểm EF (gt)
=> IL là đường trung bình của tam g EFH
=> IL // HF, IM = HF/2 (3)
cm tương tự ta được JK là đường trung bình của tam g HGF
=> JK // HF , JK = HF/2 (4)
từ (3) và (4) => IL // JK, IL=JK
=> ILKJ là HBH
EFGH là HCN => HG = EF (t/c HCN)
K là trung điểm HG (gt)
I là trung điểm EF (gt)
=> HK = EI
xét tam g LHK vuông tại H
tam g LEI vuông tại E (EFGH là HCN)
có LH = LE (L là trung điểm HE )
HK = EI (cmt)
=> tam g LHK = tg LEI (2 cgv)
=> KL = LI (2 cạnh t/ư)
ILKJ là HBH , KL = LI (cmt) => ILKJ là Hthoi (vì là HBH có 2 cạnh kề = nhau)
d) khi AC vuông BD, AC = BD thì EFGH, ILKJ là Hvuông
