Question

Cho tứ giác ABCD có hai đỉnh B và C ở trên nửa đường tròn đường kính AD, tâm O. Hai đường chéo AC và Bd cắt nhau tại E. Gọi H là hình chiếu vuông góc của E xuống AD và I là trung điểm của DE. Chứng minh rằng: 1) các tứ giác ABEh, DCEH nội tiếp được đường tròn. 2)E là tâm đường tròn nội tiếp tam giác BCH. 3) Năm điểm B,C,I,O,H cùng thuộc một đường tròn.

Answer 1

2/ Ta có ^ECD = ^ACD = 90° (Góc nt chắn nửa (O)
Lại có ^EHD = 90° (gt)
=> ^ECD + ^EHD = 180° nên tứ giác HECD nội tiếp
=> ^ECH = ^EDH (Cùng chắn cung EH của (HECD))
Mặt khác ^ACB = EDH (Cùng chắn cung AB của (O))
=> ^ECH = ^ACB nên EC là phân giác ^C
Chứng minh tương tự ta có BE là phân giác ^B
=> E là gia 3 phân giác trong của △BHC nên E là tâm đường tròn nội tiếp △BHC
3/Ta đi chứng minh ^BHC = ^BOC = ^BIC
Thật vậy: Ta có ^BHC = 2.^EHC (T/c phân giác)
=> ^BHC = 2.^EDC (1)(Vì ^EHC = ^EDC do chắn cung EC của (HECD))
Nhưng ^BOC = 2.^EDC (2) (Góc ở tâm gấp 2 lần góc nt chắn 1 cung)
Trong tam giác vuông ECD có I là trung điểm cạnh huyền nên IC = IE = ID
=> △ CID cân tại I
=> ^EIC = 2.^EDC = ^BIC (3) (Góc ngoài tam giác cân)
Từ 1, 2, 3 => ^BHC = ^BOC = ^BIC nên H, O, I cùng thuộc cung chứa góc dựng trên BC hay 5 điểm B, C, I, O, H cùng thuộc 1 đường tròn