Question

Cho t/g ABC vuông cân tại A, M là trung điểm của cạnh BC, điểm E nằm giữa M và C. Kẻ BH, CK vuông góc với AE, (H,K thuộc AE). CMR:

a, BH = AK

b, t/g MBH = t/g MAK.

c, t/g MHK là tam giác vuông cân

Answer 1

a) Ta có: \(\widehat{ABH}+\widehat{BAH}=90^o\) (t/c tgv) (1)

\(\widehat{BAH}+\widehat{CAK}=90^o\) (2)

Từ (1) và (2) suy ra:

\(\widehat{ABH}+\widehat{BAH}=\widehat{BAH}+\widehat{CAK}\)

\(\Rightarrow\widehat{ABH}=\widehat{CAK}\)

Xét \(\Delta BHA\) vuông tại H và \(\Delta AKC\) vuông tại K có:

AB = AC (\(\Delta ABC\) cân)

\(\widehat{ABH}=\widehat{CAK}\) (c/m trên)

\(\Rightarrow\Delta BHA=\Delta AKC\) (ch - gn)

\(\Rightarrow BH=AK\) (2 cạnh t/ư)

b) Xét \(\Delta ABM\) và \(\Delta ACM\) có:

AB = AC

AM cạnh chung

BM = CM (suy từ gt)

\(\Rightarrow\Delta ABM=\Delta ACM\) (c.c.c)

\(\Rightarrow\widehat{AMB}=\widehat{AMC}\)

mà \(\widehat{AMB}+\widehat{AMC}=180^o\) (kề bù)

\(\Rightarrow\widehat{AMB}=\widehat{AMC}\) = 90^o Do \(\Delta ABM=\Delta ACM\) \(\Rightarrow\widehat{BAM}=\widehat{CAM}\) Lại có: \(\widehat{BAM}+\widehat{CAM}=90^o\) \(\Rightarrow\widehat{BAM}=\widehat{CAM}\) = 45^o Áp dụng t/c tgv: \(\widehat{BAM}+\widehat{ABM}=90^o\) \(\Rightarrow45^o+\widehat{ABM}=90^o\) \(\Rightarrow\widehat{ABM}=45^o\) \(\Rightarrow\widehat{ABM}=\widehat{BAM}\) \(\Rightarrow\Delta ABM\) cân tại M \(\Rightarrow AM=BM\) Gọi giao điểm của BH và AM là F Ta lại có: \(\widehat{AFH}+\widehat{HAF}=90^o\) ( t/c tgv) \(\widehat{BFM}+\widehat{MBF}=90^o\) mà \(\widehat{AFH}=\widehat{BFM}\) (đối đỉnh) \(\Rightarrow\widehat{HAF}=\widehat{MBF}\) hay \(\widehat{MAK}=\widehat{MBH}\) Xét \(\Delta MBH\) và \(\Delta MAK\) có: MB = MA (c/m trên) \(\widehat{MBH}=\widehat{MAK}\) (c/m trên) BH = AK (câu a) \(\Rightarrow\Delta MBH=\Delta MAK\left(c.g.c\right)\) c) Lại do \(\Delta MBH=\Delta MAK\) \(\Rightarrow MH=MK\) \(\Rightarrow\Delta MHK\) cân tại M. (3) Ta lại có: \(\widehat{BHM}+\widehat{MHK}=90^o\) mà \(\widehat{BHM}=\widehat{AKM}\) (\(\Delta MBH=\Delta MAK\))

\(\Rightarrow\widehat{AKM}+\widehat{MHK}=90^o\)

Áp dụng t/c tổng 3 góc trong 1 t/g ta có:

\(\widehat{AKM}+\widehat{MHK}+\widehat{HMK}=180^o\)

\(\Rightarrow\widehat{HMK}=90^o\)

\(\Rightarrow\Delta MHK\) vuông tại M (4)

Từ (3) và (4) suy ra \(\Delta MHK\) vuông cân tại M

Answer 2

Tự vẽ hình

a) Vì \(\Delta\) ABC là tam giác vuông cân tại A

=> AB = AC và \(\widehat{ABC}\) = \(\widehat{ACB}\)

Trong \(\Delta\) vuông tại H có :

\(\widehat{ABH}\) + \(\widehat{BAH}\) = 90⁰ (1)

Ta có : \(\widehat{BAH}\) + \(\widehat{KAC}\) = 90⁰ (2)

Từ (1) , (2) ta có :

\(\widehat{ABH}\) = \(\widehat{KAC}\)

Xét \(\Delta\) ABH vuông tại H và \(\Delta\) CAK vuông tại K có :

AB = AC ( chứng minh trên )

\(\widehat{ABH}\) = \(\widehat{KAC}\) ( chứng minh trên ) => \(\Delta\) ABH = \(\Delta\) CAK ( ch-gn ) => BH = AK ( cặp cạnh tương ứng )