a) Ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}\widehat{ABM}+\widehat{ABC}=180^0\\\widehat{ACN}+\widehat{ACB}=180^0\end{matrix}\right.\) (kề bù)
Mà: \(\widehat{ABC}=\widehat{ACB}\) (ΔABC cân tại A)
=> \(\widehat{ABM}=\widehat{ACN}\)
Xét ΔABM và ΔACN ta có:
AB = AC (ΔABC cân tại A)
\(\widehat{ABM}=\widehat{ACN}\left(cmt\right)\)
BM = CN (GT)
=> ΔABM = ΔACN (c - g - c)
=> \(\widehat{M}=\widehat{N}\) (2 góc tương ứng)
Xét 2 tam giác vuông ΔHBM và ΔKCN ta có:
Cạnh huyền BM = CN (GT)
\(\widehat{M}=\widehat{N}\left(cmt\right)\)
=> ΔHBM = ΔKCN (c.h - g.n)
=> \(\widehat{HBM}=\widehat{KCN}\) (2 góc tương ứng)
Ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}\widehat{HBM}=\widehat{CBO}\\\widehat{KCN}=\widehat{BCO}\end{matrix}\right.\) (đối đỉnh)
Mà: \(\widehat{HBM}=\widehat{KCN}\left(cmt\right)\)
=> \(\widehat{CBO}=\widehat{BCO}\)
=> ΔOBC cân tại O
b) Có: ΔABM = ΔACN (câu a)
=> AM = AN (2 cạnh tương ứng)
Có: ΔHBM = ΔKCN (câu a)
=> HM = KN (2 cạnh tương ứng)
Ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}AH+HM=AM\\AK+KN=AN\end{matrix}\right.\)
Mà: \(\left\{{}\begin{matrix}HM=KN\left(cmt\right)\\AM=AN\left(cmt\right)\end{matrix}\right.\)
=> AH = AK
=> ΔAHK cân tại A
=> \(\widehat{AHK}=\frac{180^0-\widehat{HAK}}{2}\) (1)
Có: AM = AN (cmt)
=> ΔAMN cân tại A
=> \(\widehat{AMN}=\frac{180^0-\widehat{MAN}}{2}\)
Hay: \(\widehat{AMN}=\frac{180^0-\widehat{HAK}}{2}\) (2)
Từ (1) và (2) => \(\widehat{AHK}=\widehat{AMN}\)
Mà 2 góc này lại là 2 góc đồng vị
=> HK // MN
