Câu hỏi của Lê Minh Tuấn

Question

Cho tam giác vuông cân ABC (AB = AC), tia phân giác của các góc B và C cắt AC và AB lần lượt tại E và D
a) Chứng minh rằng BE = CD; AD = AE
b) Gọi I là giao điểm của BE và CD, AI cắt BC tại M. Chứng m...

Mai Phương · Accepted Answer

A B C        D E H K I M 1 2 1 2 1 2

a ) Vì $\Delta ABC$ cân tại A nên $\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}AB=AC\\widehat{C}=\widehat{B}\end{matrix}\right.$

Vì BE là tpg của $\widehat{B}$ nên $\Rightarrow\widehat{B_1}=\widehat{B_2}=\dfrac{\widehat{ABC}}{2}$

Vì CD là tpg của $\widehat{C}$ nên$\Rightarrow\widehat{C_1}=\widehat{C_2}=\dfrac{\widehat{ACB}}{2}$

Mà  $\widehat{ABC}=\widehat{ACB}$

$\Rightarrow\widehat{B_1}=\widehat{C_1}$

Xét $\Delta BEA$ và $\Delta CDA$ có:

$\left\{{}\begin{matrix}\widehat{A}chung\AB=AC\left(gt\right)\\widehat{B_1}=\widehat{C_1}\left(cmt\right)\end{matrix}\right.\Rightarrow\Delta BEA=\Delta CDA\left(g-c-g\right)$

$\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}BE=CD\AD=AE\end{matrix}\right.$ ( 2 cạnh tương ứng )

b) Từ $\Delta BEA=\Delta CDA\Rightarrow\widehat{AEB}=\widehat{ADC}$

Xét $\Delta AID$ và $\Delta AIE$ có:

​$\widehat{AEB}=\widehat{ADC}\left(cmt\right)$

$AD=AE\left(cmt\right)$       $\Rightarrow\Delta AID=\Delta AIE$ ( cạnh huyền-góc nhọn )

$AI$ chung

$\Rightarrow\widehat{A_1}=\widehat{A_2}$ ( 2 góc tương ứng )

Xét $\Delta AMB$ và $\Delta AMC$ có:

$\begin{matrix}AMchung\\widehat{A_1}=\widehat{A_2}\left(cmt\right)\AB=AC\left(gt\right)\end{matrix}\Rightarrow\Delta AMB=\Delta AMC\left(c-g-c\right)$

$\Rightarrow\widehat{AMB}=\widehat{AMC}$ ( 2 góc tương ứng )

Ta có : $\widehat{AMB}+\widehat{AMC}=180^0$

$\Rightarrow2\cdot\widehat{AMB}=180^0\Rightarrow\widehat{AMB}=90^0$

$\Rightarrow\Delta AMB$ và $\Delta AMC$ là 2 △ vuông cân

c) Từ $\Delta AIB=\Delta AIC\Rightarrow BI=CI$ ( 2 cạnh tương ứng )

Xét $\Delta BDI$ và $\Delta CEI$ có:

$\begin{matrix}BI=CI\left(cmt\right)\\widehat{B_1}=\widehat{C_1}\left(cmt\right)\\widehat{DIB}=\widehat{DIC}\end{matrix}\Rightarrow\Delta BDI=\Delta CEI\left(g-c-g\right)$

$\Rightarrow DI=IE$ ( 2 cạnh tương ứng )

Xét $\Delta DIH$ và $\Delta EIC$ có:

$\begin{matrix}DI=IE\left(cmt\right)\\widehat{H}=\widehat{E}\left(cmt\right)\\widehat{DIB}=\widehat{DIC}\end{matrix}\Rightarrow\Delta DIH=\Delta EIC\left(g-c-g\right)$

$\Rightarrow KC=KH$Câu trả lời: A B C        D E H K I M 1 2 1 2 1 2