Question

Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn tâm O (AB < AC), đường cao AH cắt đường tròn O tại điểm thứ 2 mà M. Kẻ đường kính AD của (O). Chứng minh rằng:

a. AM vuông góc MD

b. Tam giác ABH đồng dạng với tam giác ADC. Từ đó suy ra BM = DC

c. Tứ giác BMDC là hình thang cân 

Answer 1

a: Xét (O) có

 

ΔAMD nội tiếp

AD là đường kính

Do đó: ΔAMD vuông tại M

=>AM\(\perp\)MD

b: 

Xét (O) có

\(\widehat{ABC}\) là góc nội tiếp chắn cung AC

\(\widehat{ADC}\) là góc nội tiếp chắn cung AC
Do đó: \(\widehat{ABC}=\widehat{ADC}\)

Xét (O) có

ΔACD nội tiếp

AD là đường kính

Do đó: ΔACD vuông tại C

Xét ΔAHB vuông tại H và ΔACD vuông tại C có

\(\widehat{ABH}=\widehat{ADC}\)

Do đó: ΔAHB~ΔACD

c: Ta có: AM\(\perp\)MD

AM\(\perp\)BC tại H

Do đó: BC//MD

=>BCDM là hình thang

=>\(\widehat{BMD}+\widehat{MBC}=180^0\)

mà \(\widehat{MBC}+\widehat{MDC}=180^0\)(BCDM là tứ giác nội tiếp (O))

nên \(\widehat{BMD}=\widehat{CDM}\)

Hình thang BCDM(BC//MD) có \(\widehat{BMD}=\widehat{CDM}\)

nên BCDM là hình thang cân