Hình:
Giải:
a) Ta có:
\(AB>AC\left(gt\right)\)
\(\Leftrightarrow HB>HC\) (Quan hệ giữa hình chiếu và đường xiên)
b) Ta có: \(AB>AC\left(gt\right)\)
\(\Leftrightarrow\widehat{ABC}< \widehat{ACB}\) (Quan hệ cạnh và góc đối diện)
Lại có:
\(\widehat{BAH}+\widehat{ABC}+\widehat{AHB}=180^0\) (Tổng ba góc tam giác)
\(\Leftrightarrow\widehat{BAH}+\widehat{ABC}+90^0=180^0\)
\(\Leftrightarrow\widehat{BAH}=180^0-\widehat{ABC}-90^0\)
\(\Leftrightarrow\widehat{BAH}=900^0-\widehat{ABC}\)
Tương tự ta được:
\(\Leftrightarrow\widehat{CAH}=900^0-\widehat{ACB}\)
Ta có:
\(\widehat{ABC}< \widehat{ACB}\) (Chứng minh trên)
\(\Leftrightarrow-\widehat{ABC}>-\widehat{ACB}\)
\(\Leftrightarrow90^0-\widehat{ABC}>90^0-\widehat{ACB}\)
\(\Leftrightarrow\widehat{BAH}>\widehat{CAH}\)
c) Gọi I và K lần lượt là giao điểm của HN với AC và HM với AB
Xét tam giác AIN và tam giác AIH, có:
\(\widehat{AIN}=\widehat{AIH}=90^0\) (HN là đường trung trực của AC)
AI chung
\(IN=IH\) (HN là đường trung trực của AC)
\(\Rightarrow\Delta AIN=\Delta AIH\left(c.g.c\right)\)
\(\Rightarrow AN=AH\) (Hai cạnh tương ứng) (1)
Chứng minh tương tự với tam giác AKM và tam giác AKH, ta được:
\(\Delta AKM=\Delta AKH\left(c.g.c\right)\)
\(\Rightarrow AM=AH\) (Hai cạnh tương ứng) (2)
Từ (1) và (2) \(\Rightarrow AM=AN\) (Bắc cầu)
Suy ra tam giác MAN cân tại A
Vậy ...
