Question

Cho tam giác MNP vuông tại N và một điểm A nằm ngoài mặt phẳng (MNP). Lần lượt lấy các điểm B, C, D sao cho M, N, P tương ứng là trung điểm của AB, AC, CD (H.7.7). Chứng minh rằng AD và BC vuông góc với nhau và chéo nhau.

Answer 1

+) Xét tam giác ABC có

M, N lần lượt là trung điểm của AB, AC

\( \Rightarrow \) MN là đường trung bình của tam giác ABC

\( \Rightarrow \) MN // BC

Mà NP \( \bot \) MN nên NP \( \bot \) BC

Xét tam giác ADC có

N, P lần lượt là trung điểm của AC, CD

\( \Rightarrow \) PN là đường trung bình của tam giác ADC

\( \Rightarrow \) PN // AD

Mà NP \( \bot \) BC nên AD \( \bot \) BC

+) BC // MN mà \(MN \subset \left( {MNP} \right) \Rightarrow BC//\left( {MNP} \right)\)

PN // AD mà \(PN \subset \left( {MNP} \right) \Rightarrow AD//\left( {MNP} \right)\)

Vậy AD và BC chéo nhau.

Answer 2

Xét ΔABC có AM/AB=AN/AC

nên MN//BC

=>BC vuông góc NP

Xét ΔCAD có CN/CA=CP/CD

nên NP//AD

mà BC vuông góc NP

nên BC vuông góc AD

PN//AD

=>AD//(MNP)

BC//NP

=>BC//(MNP)

=>AD và BC chéo nhau