Question

Cho tam giác MNP vuông tại M, có góc N bằng 60^o . Tia phân giác của góc N cắt MP tại
E. Kẻ EF vuông góc với NP tại F.
a) Chứng minh: Δ MNE = Δ FNE.
b) Chứng minh: Δ MNF là tam giác đều.
c) Gọi H là giao điểm của MN và EF. Chứng minh rằng: Tam giác HEP cân.
d) Chứng minh: MF // HP.

Answer 1

a, Xét ΔMNE và ΔFNE có :

∠NME =∠NFE (pg)

NE là cạnh chung

∠EMN=∠EFN

Vậy ΔMNE=ΔFNE(ch-gn)

suy ra : MN=NF (2ct/ư)

b, do MN=NF , mà ∠MNF=60* nên

ΔMNF đều

c, do ΔMNE=ΔFNE nên

=> ME=FE

T/Ư ta có ΔHME=ΔPFE(cgv-gnk)

=> HM=PF

=> HE=PE

Vậy ΔMNF đều

d, ta có MN=FN, HM=PF

Mà ∠N chung

suy ra MF// HP

Answer 2

a) Xét ΔMNE vuông tại M và ΔFNE vuông tại F có

NE là cạnh chung

\(\widehat{MNE}=\widehat{FNE}\)(NE là tia phân giác của \(\widehat{MNP}\), F∈NP)

Do đó: ΔMNE=ΔFNE(cạnh huyền-góc nhọn)

b) Ta có: ΔMNE=ΔFNE(cmt)

⇒NM=NF(hai cạnh tương ứng)

Xét ΔMNF có MN=NF(cmt)

nên ΔMNF cân tại N(định nghĩa tam giác cân)

Xét ΔMNF cân tại N có \(\widehat{MNF}=60^0\)(gt)

nên ΔMNF đều(dấu hiệu nhận biết tam giác đều)

c) Ta có: ΔMNE=ΔFNE(cmt)

⇒ME=FE(hai cạnh tương ứng)

Xét ΔEMH vuông tại M và ΔEFP vuông tại F có

ME=FE(cmt)

\(\widehat{MEH}=\widehat{FEP}\)(hai góc đối đỉnh)

Do đó: ΔEMH=ΔEFP(cạnh góc vuông-góc nhọn kề)

⇒EH=EP(hai cạnh tương ứng)

Xét ΔHEP có EH=EP(cmt)

nên ΔHEP cân tại E(định nghĩa tam giác cân)

d) Ta có: MN+MH=NH(M nằm giữa N và H)

NF+FP=NP(F nằm giữa N và P)

mà MN=NF(cmt)

và MH=FP(ΔMEH=ΔFEP)

nên NH=NP

Xét ΔNHP có NH=NP(cmt)

nên ΔNHP cân tại N(định nghĩa tam giác cân)

⇒\(\widehat{NPH}=\frac{180^0-\widehat{N}}{2}\)(số đo của một góc ở đáy trong ΔNHP cân tại N)(1)

Ta có: ΔNFM cân tại N(cmt)

⇒\(\widehat{NFM}=\frac{180^0-\widehat{N}}{2}\)(số đo của một góc ở đáy trong ΔNFM cân tại N)(2)

Từ (1) và (2) suy ra \(\widehat{NPH}=\widehat{NFM}\)

mà \(\widehat{NPH}\) và \(\widehat{NFM}\) là hai góc ở vị trí đồng vị

nên MF//HP(dấu hiệu nhận biết hai đường thẳng song song)