Bài 3: Diện tích tam giác

Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài
Cao Viết Cường

Cho tam giác đều ABC cạnh a và điểm M bất kì nằm trong tam giá đó. gọi H, K,T tương ứng là hình chiếu vuông góc của điểm M trên BC, CA,AB. Chứng minh rằng MH + Mk + Mt = \(\dfrac{a\sqrt{3}}{2}\)

DƯƠNG PHAN KHÁNH DƯƠNG
7 tháng 12 2017 lúc 19:04

B C A a a a D H K T M

Kẻ đường cao AD nên AD cũng là đường trung tuyến .

Ta có :

\(S_{ABC}=S_{ABM}+S_{ACM}+S_{BCM}\)

\(\left\{{}\begin{matrix}S_{ABM}=\dfrac{a.MT}{2}\\S_{ACM}=\dfrac{a.MK}{2}\\S_{BCM}=\dfrac{a.MH}{2}\end{matrix}\right.\)

Cộng vế theo vế ta có :

\(S_{ABC}=\dfrac{a\left(MH+MK+MT\right)}{2}\)

Mặt khác :

\(S_{ABC}=\dfrac{a.AD}{2}\)

\(\Rightarrow AD=MK+MH+MT\)

Nên ta cần chứng minh :

\(AD=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}\)

Ta có :

\(AD=\sqrt{a^2-CD^2}\) ( py - ta - go )

\(\Rightarrow AD=\sqrt{a^2-\left(\dfrac{a}{2}\right)^2}=\sqrt{a^2-\dfrac{a^2}{4}}=\sqrt{\dfrac{3a^2}{4}}=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}\)

Nên :

\(MK+MH+MT=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}\)

Đức Hiếu
7 tháng 12 2017 lúc 22:25

Sao lại làm dài vậy nhỉ?

a, Hạ đường cao AD của tam giác ABC

Ta có: \(S_{ABC}=S_{AMB}+S_{AMC}+S_{BMC}\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{AD.a}{2}=\dfrac{MI.a}{2}+\dfrac{MK.a}{2}+\dfrac{MH.a}{2}\)

\(\Leftrightarrow AD=MI+MK+MH\) (1)

Vì AD là đường cao của tam giác ABC nên AD đồng thời là đường trung tuyến

Do đó \(BD=\dfrac{a}{2}\)

Áp dụng định lý Pytago cho tam giác vuông ta có:

\(AD=\sqrt{a^2-\left(\dfrac{a}{2}\right)^2}=\sqrt{a^2-\dfrac{a^2}{4}}=\sqrt{\dfrac{4a^2-a^2}{4}}=\sqrt{\dfrac{3a^2}{4}}=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}\) (2)

Thay (2) vào (1) ta được: \(MI+MK+MH=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}\)(đpcm)


Các câu hỏi tương tự
송중기
Xem chi tiết
Sách Giáo Khoa
Xem chi tiết
Phương Thảo Nguyễn
Xem chi tiết
Sách Giáo Khoa
Xem chi tiết
MIGHFHF
Xem chi tiết
mai nguyễn bảo hân
Xem chi tiết
Nam Trần
Xem chi tiết
Trần Duy Vương
Xem chi tiết