Cho tam giác ANC vuông tại A. Lấy điểm E bất kì thuộc đoạn BC( E khác B,C). Qua E kẻ EM vuông góc với AB;EN vuông góc với AC.
a.Tứ giác AMEN là hình gì?Vì sao?
b.Tìm vị trí điểm E để tứ giác AMEN là hình vuông.
c. Gọi I là điểm đối xứng với E qua AB;K là điểm đối xứng với E qua AC. Chứng minh I đối xứng với K qua điểm A.
a) Xét tứ giác AMEN ta có
\(\widehat{MAN}=\widehat{ANE}=\widehat{AME}\left(=90^o\right)\)
=> AMEN là hình chữ nhật
b) Để AMEN là hình vuông thì AE phải là tia phân giác của \(\widehat{MAN}\) (E vẫn thuộc BC)
=> AE cũng là tia phân giác của góc BAC
Vậy khi E là giao điểm của đg phân giác của góc BAC và BC thì AMEN là hình vuông
c)
Xét tam giác AIE ta có
AM là đg trung tuyến(M là trung điểm IE)
AM là đg cao(AM vuông góc IE)
=> tam giác AIE cân tại A
Mà AM là đg trung tuyến(M là trung điểm IE)
Nên AM là đg phân giác
=>\(\widehat{MAI}=\widehat{MAE}\)
Chứng minh tương tự ta có: \(\widehat{EAN}=\widehat{NAK}\)
Mà \(\widehat{EAN}+\widehat{MAE}=90^o\left(gt\right)\)
Nên \(2\widehat{EAN}+2\widehat{MAE}=180^o\)
=>\(\widehat{EAN}+\widehat{NAK}+\widehat{MAE}+\widehat{MAI}=180^o\)
=> I,A,K thẳng hàng
Ta có
IA=AE(tam giác IAE cân tại A)
AE=AK(tam giác IAK cân tại A)
=> IA=IK
=> I đối xứng với K qua A
