cho tam giác ABC vuông tại A.gọi M,N lần lượt là trung điểm của AB,BC.Biết AC=12cm
a)tính MN
b)cm tứ giác AMNC là hình thang vuông
c)Trên tia đối tia MN lấy D sao cho DmM=MN.Đường thẳng CD cắt AB tại I và cắt AN tại K.cm tứ giác ADNC là hình bình hành ,từ đó suy ra I là trọng tâm của tam giác DAN
d)Gọi Q là giao điểm của tia NI với AD.cm NQ<AM+DK
a. Xét \(\Delta ABC\) có: MA=MB(gt)
NB=NC(gt)
\(\Rightarrow\) MN là đường trung bình của \(\Delta ABC\)
\(\Rightarrow MN=\dfrac{1}{2}AC=\dfrac{1}{2}\cdot12=6\left(cm\right)\)
Vậy MN = 6cm
b. MN là đường trung bình của \(\Delta ABC\)
\(\Rightarrow MN//AC\Rightarrow AMNC\) là hình thang (1)
Mà \(\widehat{A}=90^o(\Delta ABC\) vuông tại A) (2)
Từ (1) và (2) \(\Rightarrow AMNC\) là hình thang vuông
c. Ta có: \(MN=\dfrac{1}{2}AC\) ( MN là đường trung bình của \(\Delta ABC\) )
\(DM=MN\left(gt\right)\)
\(\Rightarrow DN=AC\) (*)
Mặt khác MN//AC (AMNC là hình thang cân) ; D nằm trên tia đối của tia MN \(\Rightarrow DM//AC\) (**)
Từ (*) và (**) \(\Rightarrow\) ADNC là hình bình hành
Mà \(CD\cap AN\equiv K\)
\(\Rightarrow KN=KA\) \(\Rightarrow\) DK là đường trung tuyến của AN
Ta lại có: DM = MN (gt)
\(\Rightarrow\) AM là đường trung tuyến của DN
Xét \(\Delta DAN\) có:
DK là trung tuyến của AN
AM là trung tuyến của DN
\(DK\cap AM\equiv I\)
\(\Rightarrow\) I là trọng tâm của \(\Delta DAN\)
d. Xét \(\Delta AMN\) và \(\Delta AMD\) có:
AM chung
\(\widehat{AMN}=\widehat{AMD}\left(=90^o\right)\)
DM = MN (gt)
\(\Rightarrow\Delta AMN=\Delta AMD\left(c.g.c\right)\)
\(\Rightarrow AN=AQ\Rightarrow\Delta ANQ\) cân tại A mà DK và NQ là trung tuyến hai cạnh bên \(\Rightarrow DK=NQ\)
\(\Rightarrow NQ< DK+AM\left(đpcm\right)\)
