Question

Cho tam giác abc vuông tại A, trung tuyến am. D là điểm đối xứng của A qua M
a) ABDC là hình gì? Vì sao?
b) Gọi I là trung điểm AC, N là điểm đối xứng với M qua I. Chứng minh AMCN là hình thoi?

c) Tam giác ABC cần thêm điều kiện gì thì AMCN là hình vuông

Answer 1

https://i.imgur.com/kRld19X.jpg

Answer 2

a)Xét tứ giác ABDC, có:
\(BC\cap AD=\left\{M\right\}\)
MB=MC
AM=DM
=>ABDC là hình bình hành
Mà góc BAC = 90^o
=>ABDC là hình chữ nhật
b)+)Xét tam giác ABC vuông tại A, có:
AM là đường trung tuyến
=>AM=\(\frac{1}{2}\) BC=MC
+)Xét tứ giác AMCN, có:
\(AC\cap MN=\left\{I\right\}\)
IA=IC
IM=IN
=>AMCN là hình bình hành
Mà AM=MC(cmt)
=>AMCN là hình thoi
c)Hình thoi AMCN là hình vuông
<=>\(\widehat{AMN}=90^o\) hay \(\widehat{MAC}+\widehat{CAN}=90^o\)
Mà \(\widehat{MAC}=\widehat{CAN}\)
<=>\(\widehat{MAC}=\widehat{CAN}=90^o\)
Mà \(\widehat{BAM}+\widehat{MAC}=90^o\)
<=>\(\widehat{BAM}=\widehat{MAC}=45^o\)
<=>AM là đường phân giác của góc BAC của tam giác ABC
Mà AM là đường trung tuyến và \(\Delta ABC\) vuông tại A
<=>Tam giác ABC vuông cân tại A
Vậy tam giác ABC vuông cân tại A thì AMCN là hình vuông