Cho tam giác ABC vuông tại A. Kẻ đường phân giác BD, kẻ DE vuông góc BC
a) Chứng minh rằng: BD là trung trực của AE và AD<DC.
b) Tia BD cắt FC tại G. Chứng minh BD vuông góc CF và AE song song CF
c) Tia BD cắt CF tại G. chứng minh rằng D cách đều ba cạnh của tam giác AEG
d) lấy M và N tương ứng di động trên BF và bc sao cho BM + BN = BC. Chứng minh rằng trung điểm I của MN luôn nằm trên một đường thẳng cố định
a/ Xét 2 tam giác vuông ΔABD và ΔEBD ta có:
Cạnh huyền BD: chung
\(\widehat{ABD}=\widehat{DBE}\left(GT\right)\)
=> ΔABD = ΔEBD (c.h - g.n)
=> AB = EB (2 cạnh tương ứng)
Gọi H là giao điểm của BD và AE
Xét ΔABH và ΔEBH ta có:
AB = EB (cmt)
\(\widehat{ABH}=\widehat{EBH}\left(GT\right)\)
BH: cạnh chung
=> ΔABH = ΔEBH (c - g - c)
=> AH = EH (2 cạnh tương ứng)
=> H là trung điểm của AE
=> BD đi qua trung điểm của AE (1)
Có: ΔABH = ΔEBH (cmt)
=> \(\widehat{AHB}=\widehat{EHB}\) (2 góc tương ứng)
Mà 2 góc này lại là 2 góc kề bù
\(\widehat{AHB}=\widehat{EHB}=180^0:2=90^0\)
=> AH ⊥ BH tại H
Hay: AE ⊥ BD tại H (2)
Từ (1) và (2) => BD là đường trung trực của AE
*Có: ΔABD = ΔEBD (cmt)
=> AD = DE (2 cạnh tương ứng) (3)
ΔDEC vuông tại E
=> DE là cạnh góc vuông
Và: DC là cạnh huyền
Mà cạnh huyền luôn > cạnh góc vuông
Nên: DC > DE (4)
Từ (3) và (4) => DC > AD
Hay: AD < DC
P/s: Câu b, c có liên quan đến điểm F mà điểm F lại ko đc nhắc đến trong đề nên mik ko làm đc nhé!
