Lời giải:
a)
Xét tam giác $BHA$ và $BAC$ có:
$\widehat{B}$ chung
$\widehat{BHA}=\widehat{BAC}=90^0$
$\Rightarrow \triangle BHA\sim \triangle BAC(g.g)$
$\Rightarrow \frac{BH}{BA}=\frac{BH}{BA}\Rightarrow BA^2=BH.BC$
Hoàn toàn tương tự: $CA^2=CH.BC$
Do đó:
\(AB^2+CH^2-(AC^2+BH^2)=BH.BC+CH^2-CH.BC-BH^2\)
\(=BH(BC-BH)-CH(BC-CH)=BH.CH-CH.BC=0\)
\(\Rightarrow AB^2+CH^2=AC^2+BH^2\) (đpcm)
b)
Áp dụng định lý Pitago cho các tam giác vuông:
\(BC^2=AB^2+AC^2; EF^2=AE^2+AF^2\)
Mà $E\in AB; F\in AC\Rightarrow AB>AE; AC>AF$
$\Rightarrow AB^2+AC^2> AE^2+AF^2$
$\Rightarrow BC^2> EF^2\Rightarrow BC>EF$ (đpcm)
c)
Áp dụng định lý Pitago cho tam giác vuông $ABC$:
$BC=\sqrt{AB^2+AC^2}=\sqrt{6^2+8^2}=10$ (cm)
Theo kết quả phần a:
$BH=\frac{AB^2}{BC}=\frac{6^2}{10}=3,6$ (cm)
$CH=\frac{AC^2}{BC}=\frac{8^2}{10}=6,4$ (cm)
Vậy.........
