\(a\)
\(\Delta ABC\) vuông tại A có :
\(\widehat{B}+\widehat{C}=90^0\)
\(\Delta ABH\) vuông tại H có :
\(\widehat{HAB}+\widehat{B}=90^0\)
\(\Rightarrow\widehat{HAB}=\widehat{C}\) \(\left(2\right)\)
\(Xét\) \(\Delta ABC\) vuông tại A có :
Có AM là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền BC (gt)
\(\Rightarrow AM=\dfrac{1}{2}BC\) ( trong tam giác vuông đường trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng 1 nửa cạnh huyền )
\(\Rightarrow AM=CM\)
\(\Rightarrow\Delta ACM\) cân tại M
\(\Rightarrow\widehat{C}=\widehat{MAC}\) \(\left(2\right)\) ( 2 góc đáy)
\(Từ\) \(^{\left(1\right)}và^{\left(2\right)}\Rightarrow\widehat{HAB}=\widehat{MAC}\left(đpcm\right)\)
\(b\ \)
Gọi giao điểm của AH và DE là I , giao điểm của AM và DE là K
TỨ giác ADHE có :
\(\cdot\) AH ⊥BC ( AH là đường cao)
\(\cdot\) HE ⊥ AC ( E là chân đường vuông góc kẻ từ H đến AC)
\(\cdot HD\perp AB\) ( D là chân đường vuông góc kẻ từ H đến AB)
\(\Rightarrow ADHE\) là hình chữ nhật
Mà I là giao điểm của AH và DE
Theo tính chất hình chữ nhật
\(\Rightarrow I\) là trung điểm AH , DE và AH = DE
\(\Rightarrow AI=IE\)
\(\Rightarrow\Delta AIE\) cân tại I
\(\Rightarrow\widehat{IAE}=\widehat{IEA}\) ( 2 góc đáy)
Mà đồng thời ta có \(^{\left(2\right)}\)
\(\Rightarrow\widehat{IEA}+\widehat{MAC}=\widehat{IAE}+\widehat{C}\)
Trong \(\Delta ACH\) vuông tại H có :
\(\widehat{IAE}+\widehat{C}=90^0\) ( trong tam giác vuông 2 góc nhọn phụ nhau)
\(\Rightarrow\widehat{IEA}+\widehat{MAC}=90^0\)
\(\Rightarrow AK\perp DE\) hay \(AM\perp DE\left(đpcm\right)\)
