a) Vì EM giao AB tại D mà D đồng thời là trung điểm của EM và AB ( theo gt )
=> tứ giác AEBM là hình bình hành (1)
Xét tam giác vuông ABC có AM là trung tuyến ứng với cạnh huyền BC
=> BM = MC = AM (2)
Từ (1) và (2) => tứ giác AEBM là hình thoi ( đpcm )
b) Vì tứ giác AEBM là hình thoi
=> AE // BM hay AE // MC (3)
Ta có D là trung điểm của AB, M là trung điểm của BC ( trong tam giác ABC )
=> DM là đường trung bình
=> DM // AC hay EM // AC (4)
Từ (3) và (4) => AEMC là hình bình hành
=> EC giao AM tại trung điểm mỗi đường
Mà I là trung điểm của AM
=> I cũng là trung điểm của EC
=> E, I, C thẳng hàng ( đpcm )
c) Để hình thoi AEBM là hình vuông thì AB = EM
Mà EM = AC ( vì AEMC là hình bình hành - chứng minh ở câu b )
=> AB = AC hay tam giác ABC vuông cân tại A
Vậy tam giác ABC vuông cân tại A thì hình thoi AEBM là hình vuông
