a) Xét \(\Delta ABM\) có :
\(\widehat{MAB}=\widehat{MBA}\left(gt\right)\)
=> \(\Delta ABM\) cân tại M
Do đó ta có : \(\widehat{AMB}=180^o-\left(\widehat{MAB}+\widehat{MBA}\right)\) (tổng 3 góc của 1 tam giác)
=> \(\widehat{AMB}=180^o-2.30^o=120^o\)
Ta có : \(\widehat{BAC}=\widehat{MAB}-\widehat{MAC}\)
=> \(90^o=30^o-\widehat{MAC}\)
=> \(\widehat{MAC}=90^o-60^o\)
=> \(\widehat{MAC}=60^o\)
b) Có : \(\widehat{AMB}+\widehat{AMC}=180^o\) (kề bù)
=> \(120^o+\widehat{AMC}=180^o\)
=> \(\widehat{AMC}=180^o-120^o\)
=> \(\widehat{AMC}=60^o\)
Xét \(\Delta AMC\) có :
\(\widehat{MAC}=\widehat{AMC}\left(=60^o\right)\)
=> \(\Delta AMC\) cân tại A
Mà có : \(\widehat{ACM}=180^o-\left(\widehat{MAC}+\widehat{AMC}\right)\) (tổng 3 góc của 1 tam giác)
=> \(\widehat{ACM}=180^o-2.60^o=60^o\)
Thấy : \(\widehat{AMC}=\widehat{MAC}=\widehat{ACM}=60^o\)
Do đó \(\Delta AMC\) là tam giác đều (đpcm)
- Ta có : Do \(\Delta AMB\) cân tại A (cmt - câu a) (1)
=> \(BM=AM\) (tính chất tam giác cân)
Mà có : \(\Delta AMC\) cân tại M (cmt)
=> \(AM=MC\) (tính chất tam giác cân) (2)
- Từ (1) và (2) => \(BM=MC\left(=AC\right)\)
Mà : \(BM=\dfrac{1}{2}BC\)
Do vậy : \(AC=\dfrac{1}{2}BC\)
