Question

Cho tam giác ABC vuông tại A có AB=6cm; AC=8cm. Kẻ tia phân giác BD của góc ABC (D thuộc AC). Kẻ DE vuông góc với BC tại E. Gọi giao điểm của DE và AB là F

a) Tính BC? Chứng minh tam giác ABE cân?

b) Chứng minh DF=DC. Từ đó so sánh AD và DC?

c) Chứng minh BD vuông góc với FC

Answer 1

a) Xét \(\Delta ABC\) vuông tại \(A\left(gt\right)\) có:

\(BC^2=AB^2+AC^2\) (định lí Py - ta - go).

=> \(BC^2=6^2+8^2\)

=> \(BC^2=36+64\)

=> \(BC^2=100\)

=> \(BC=10\left(cm\right)\) (vì \(BC>0\)).

Xét 2 \(\Delta\) vuông \(ABD\) và \(EBD\) có:

\(\widehat{BAD}=\widehat{BED}=90^0\left(gt\right)\)

Cạnh BD chung

\(\widehat{B_1}=\widehat{B_2}\) (vì \(BD\) là tia phân giác của \(\widehat{ABC}\))

=> \(\Delta ABD=\Delta EBD\) (cạnh huyền - góc nhọn).

=> \(AB=EB\) (2 cạnh tương ứng).

=> \(\Delta ABE\) cân tại \(B.\)

b) Theo câu a) ta có \(\Delta ABD=\Delta EBD.\)

=> \(AD=ED\) (2 cạnh tương ứng).

Xét 2 \(\Delta\) vuông \(ADF\) và \(EDC\) có:

\(\widehat{FAD}=\widehat{CED}=90^0\left(gt\right)\)

\(AD=ED\left(cmt\right)\)

\(\widehat{ADF}=\widehat{EDC}\) (vì 2 góc đối đỉnh)

=> \(\Delta ADF=\Delta EDC\) (cạnh góc vuông - góc nhọn kề).

=> \(DF=DC\) (2 cạnh tương ứng).

+ Xét \(\Delta DEC\) vuông tại \(E\left(gt\right)\) có:

Cạnh huyền \(DC\) là cạnh lớn nhất (tính chất tam giác vuông).

=> \(DC>ED.\)

Mà \(AD=ED\left(cmt\right)\)

=> \(DC>AD.\)

Hay \(AD< DC.\)

c) Theo câu b) ta có \(\Delta ADF=\Delta EDC.\)

=> \(AF=EC\) (2 cạnh tương ứng).

+ Ta có:

\(\left\{{}\begin{matrix}AB+AF=BF\\EB+EC=BC\end{matrix}\right.\)

Mà \(\left\{{}\begin{matrix}AB=EB\left(cmt\right)\\AF=EC\left(cmt\right)\end{matrix}\right.\)

=> \(BF=BC.\)

=> \(\Delta BFC\) cân tại \(B.\)

Có \(BD\) là đường phân giác của \(\widehat{FBC}\left(gt\right)\)

=> \(BD\) đồng thời là đường cao của \(\Delta BFC.\)

=> \(BD\perp FC\left(đpcm\right).\)

Chúc bạn học tốt!