Question

Cho tam giác ABC vuông tại A có AB = 6cm ; AC = 8cm . Từ B kẻ tia Bx song song với AC ( tia Bx thuộc nửa mặt phẳng chứa C , bờ AB ) . Tia phân giác của góc BAC cắt BC tại M và cắt tia Bx tại N .

a) Chứng minh \(\Delta\) AMC đồng dạng \(\Delta\) NMB

b) Chứng minh \(\dfrac{AB}{AC}=\dfrac{MN}{AM}\)

c) Từ N kẻ NP vuông góc với AC ( P\(\in\)AC) , NP cắt BC tại I . Tính độ dài các đoạn thẳng BI , IC , NI , IP

Answer 1

a, ta có Bx // AC

=> góc BNM =góc MAC( so le trong )

xét tam giác BMN và CMA ,có :

góc BMN =góc CMA (đối đỉnh )

góc BNM =góc MAC (chứng minh trên)

=>tam giác BMN =tam giác CMA

b, do 2tam giác AMC =NMB( theo câu a)

=>\(\dfrac{BA}{AC}\)=\(\dfrac{MN}{AM}\)(1)

TA CÓ :AN là tia pg góc BÁC =>góc BAM = góc MAC

mà góc BNM = góc MAC ( chứng minh trên )

=>góc BNM = góc BAM

=>tam giác BAN cân tại B

=>BN =BA =>\(\dfrac{BA}{AC}\)= \(\dfrac{BN}{AC}\)(2)

Từ (1) và (2) =>\(\dfrac{BA}{AC}\)= \(\dfrac{MN}{AM}\)(ĐPCM)

c, ta có BN //AC

mà NP vuông góc với AC

=>BN vuông góc với NP

Xét tứ giác ABNP có 3 góc BNP=NPA =PAB=90⁰

=>ABNP là hcn

mà hcn ABNP có BN =AB (vì tam giác ABN cân tại B)

=>ABNP là hình vuông =>BN =NP =AP=AB=6

Ta có :AP+PC =AC =>PC =8-6=2

xét tam giác PIC có PC //BN (do ac//bn)

=>\(\dfrac{BN}{PC}\)=\(\dfrac{NI}{IP}\)=\(\dfrac{BI}{IC}\)( theo hệ quả của định lí TA -LET)(3)

=>\(\dfrac{IN}{IP}\)=\(\dfrac{6}{2}\) =>\(\dfrac{NI}{NP-NI}\) =\(\dfrac{6}{2}\)=> 6(NP-NI)=2NI=>36-6NI=2NI

=>36=2NI+6NI => 36=8MI =>NI=4,5

ta có NP=NI+IP =>PI=6-4,5=1,5

Áp dụng định lí Py -ta go vào tam giác BIN

=> BI²=BN²+NI²=>BI²=6²+4,5²=56,25 =>BÍ=7,5

Ta có \(\dfrac{BI}{IC}\)=\(\dfrac{BN}{PC}\)=>\(\dfrac{BI}{IC}\)=\(\dfrac{6}{2}\) =>IC =\(\dfrac{BI.2}{6}\)=>IC=2,5

Vậy IC=2,5 ;BI=7,5 ; NI=4,5 ;IP=1,5