Câu hỏi của Phạm Thị Linh Đan

Question

Cho ΔABC nhọn (AB < AC) có hai đường cao BD và CE cắt nhau tại H.

a) Chứng minh: ΔABD ∼ ΔACE

b) Chứng minh: HD.HB = HE.HC

c) AH cắt BC tại F. Kẻ FI vuông góc AC tại I. Chứng minh $\frac{IF}{IC}$...

Akai Haruma · Accepted Answer

Lời giải:

a)

Xét tam giác $ABD$ và $ACE$ có:

$\left\{\begin{matrix}
\widehat{A}-\text{chung}\
\widehat{ADB}=\widehat{AEC}=90^0\end{matrix}\right.\Rightarrow \triangle ABD\sim \triangle ACE(g.g)$

b)

Xét tam giác $HBE$ và $HCD$ có:

$\widehat{BHE}=\widehat{CHD}$ (2 góc đối đỉnh)

$\widehat{HEB}=\widehat{HDC}=90^0$

$\Rightarrow \triangle HBE\sim \triangle HCD(g.g)$

$\Rightarrow \frac{HB}{HE}=\frac{HC}{HD}\Rightarrow HB.HD=HC.HE$

c)

Vì $H$ là giao điểm của 2 đường cao $CE,BD$ nên $H$ là trực tâm của tam giác $ABC$

$\Rightarrow AH\perp BC$$\Rightarrow AF\perp BC\Rightarrow \widehat{AFC}=90^0$

Xét tam giác $AFC$ và $FIC$ có:

$\left\{\begin{matrix}
\widehat{C}-\text{chung}\
\widehat{AFC}=\widehat{FIC}=90^0\end{matrix}\right.\Rightarrow \triangle AFC\sim \triangle FIC(g.g)$

$\Rightarrow \frac{AF}{FC}=\frac{FI}{IC}$ (đpcm)

d) Gọi giao điểm của $NI$ và $FM$ là $K$.

Từ kết quả phần  c $\frac{AF}{FC}=\frac{FI}{IC}\Leftrightarrow \frac{\frac{FN}{2}}{FC}=\frac{FI}{2CM}\Leftrightarrow \frac{FN}{FC}=\frac{FI}{CM}$

$\Leftrightarrow \frac{FI}{FN}=\frac{CM}{FC}$

Xét tam giác $FIN$ và $CMF$ có:

$\widehat{IFN}=\widehat{MCF}(=90^0-\widehat{IFC})$

$\frac{FN}{CF}=\frac{FI}{CM}$ (cmt)

$\Rightarrow \triangle FIN\sim \triangle CMF(c.g.c)\Rightarrow \widehat{FNK}=\widehat{FNI}=\widehat{CFM}$

Mà $\widehat{CFM}=90^0-\widehat{NFK}$

$\Rightarrow \widehat{FNK}=90^0-\widehat{NFK}$

$\Rightarrow \widehat{FNK}+\widehat{NFK}=90^0$

$\Rightarrow \widehat{FKN}=90^0\Rightarrow NI\perp MF$ (đpcm)Câu trả lời: Lời giải:

a)