Question

Cho tam giác ABC vuông tại A có AB= 12cm,AC=16cm. Kẻ đường cao AH(H∈BC)

a) Trong hình vẽ có bao nhiêu cặp cạnh tam giác đồng dạnh với nhau ? Hãy chỉ rõ từng cặp cạnh tam giác đồng dạng và viết theo các đỉnh tương ứng.

b) Tính độ dài các đoạn thẳng BC, AH, BH và CH.

c) Vẽ đường phân giác AD ( D∈BC). Tính BD, CD.

d) Chứng minh rằng AH² =HB. HC

Answer 1

a) Xét \(\Delta ABC\) và \(\Delta HAC\) có :

\(\widehat{BAC}=\widehat{AHC}=90^o\\ \widehat{ACB}chung\)

=> ΔABC ∼ ΔHAC ( g.g )

+) Xét ΔABC và ΔHBA có :

\(\widehat{BAC}=\widehat{HBA}=90^o\\ \widehat{ABC}chung\)

⇒ ΔABC ∼ ΔHBA ( g.g )

+) Xét ΔHCA và ΔHAB có :

\(\widehat{AHB}=\widehat{AHC}=90^o\)

\(\widehat{CAH}=\widehat{ABH}\) ( cùng phụ góc HAB )

=> ΔHCA ∼ ΔHAB ( g.g )

b) Dễ tính được BC = 20 cm

Ta có :

\(S_{ABC}=\frac{AB\cdot AC}{2}=\frac{AH\cdot BC}{2}\\ \Rightarrow AB\cdot AC=AH\cdot BC\\ \Leftrightarrow12\cdot16=AH\cdot20\\ \Leftrightarrow20\cdot AH=192\\ \Rightarrow AH=9,6\left(cm\right)\)

+) Áp dụng định lí Pi-ta-go trong ΔABH vuông tại H , ta có :

\(AH^2+BH^2=AB^2\\ \Rightarrow\left(9,6\right)^2+BH^2=12^2\\ \Rightarrow BH=\sqrt{\left(9,6\right)^2+12^2}=\sqrt{236,16}\approx15,36cm\\ \Rightarrow CH=BC-BH=20-15,36=4,64cm\)

c) Do AD là p.g \(\widehat{BAC}\)

\(\Rightarrow\frac{BD}{AB}=\frac{CD}{AC}\Rightarrow\frac{BD}{12}=\frac{CD}{16}=\frac{BD+CD}{12+16}=\frac{BC}{28}=\frac{20}{28}=\frac{5}{7}\\ \Rightarrow\frac{BD}{12}=\frac{5}{7}\Rightarrow CD=\frac{60}{7}\left(cm\right)\\ \Rightarrow\frac{CD}{16}=\frac{5}{7}\Rightarrow CD=\frac{80}{7}\left(cm\right)\)

d) Do ΔAHC ∼ ΔBHA ( c/m a )

\(\Rightarrow\frac{AH}{HB}=\frac{HC}{AH}\) hay \(AH^2=HB\cdot HC\)