Cho tam giác ABC vuông tại A, BD là phân giác của góc B. Vẽ DI vuông góc với BC (I thuộc BC)
a) Chứng minh tam giác ABD bằng tam giác IBD
b) Chứng minh BD vuông góc AI
c) Gọi K là giao điểm của hai đường thẳng DI và AB. Chứng minh DK = DC
d) Chứng minh AI // KC
e) Gọi E là trung điểm của KC. Chứng minh ba điểm B, D, E thẳng hàng.
g) Cho AB = 6 cm; AC = 8 cm. Hãy tính IC ?
Tự vẽ hình nhá!
a. Xét tam giác ABD vuông tại A và tam giác IBD vuông tại D có:
BD cạnh chung
góc ABD = góc IBD ( gt)
Do đó tam giác ABD = tam giác IBD ( cạnh huyền- góc nhọn)
b.
Gọi O là giao điểm của BD và AI
Xét tam giác ABO và tam giác IBO có:
BO cạnh chung
góc ABO = góc IBO ( gt)
AB = BI ( tam giác ABD = tam giác IBD)
Do đó: tam giác ABO = tam giác IBO ( c.g.c)
=> góc AOB = góc IOB
mà: AOB + IOB = 180o
=> AOB = IOB = 90o
do đó BO vuông góc với AI
hay BD vuông góc với AI
a) Xét \(\Delta ABD,\Delta IBD\) có :
\(\widehat{BAD}=\widehat{BID}\left(=90^{^O}\right)\)
\(BD:Chung\)
\(\widehat{ABD}=\widehat{IBD}\) (BD là tia phân giác của \(\widehat{ABC}\))
=> \(\Delta ABD=\Delta IBD\left(ch-gn\right)\)
b) Ta có : \(AD\cap BD=\left\{O\right\}\)
Xét \(\Delta ABO,\Delta IBO\) có:
\(AB=BI\) (do \(\Delta ABD=\Delta IBD\left(cmt\right)\)
\(\widehat{ABO}=\widehat{IBO}\) (BD là tia phân giác của \(\widehat{ABC}\))
\(BO:Chung\)
=> \(\Delta ABO=\Delta IBO\left(c.g.c\right)\)
=> \(\widehat{AOB}=\widehat{IOB}\) (2 góc tương ứng)
Mà : \(\widehat{AOB}+\widehat{IOB}=180^o\left(Kềbù\right)\)
=> \(\widehat{AOB}=\widehat{IOB}=\dfrac{180^o}{2}=90^o\)
=> \(BO\perp AI\)
Hay : \(BD\perp AI\) (do O\(\in\)BD)
\(\rightarrowđpcm\)
c) Xét \(\Delta ADK,\Delta IDC\) có :
\(\widehat{DAK}=\widehat{DIC}\left(=90^{^O}\right)\)
\(AD=ID\) (do \(\Delta ABD=\Delta IBD\left(cmt\right)\)
\(\widehat{ADK}=\widehat{IDC}\) (đối đỉnh)
=> \(\Delta ADK=\Delta IDC\) (cạnh huyền -góc nhọn)
=> DK = DC (2 cạnh tương ứng)
d) Xét \(\Delta ABI\) có :
\(AB=BI\) (do \(\Delta ABD=\Delta IBD\left(cmt\right)\)
=> \(\Delta ABI\) cân tại B
Ta có : \(\widehat{BAI}=\widehat{BIA}=\dfrac{180^o-\widehat{B}}{2}\) (tổng 3 góc của 1 tam giác) (1)
Xét \(\Delta BAC,\Delta BIK\) có :
\(\widehat{B}:Chung\)
\(AB=IB\) (do \(\Delta ABD=\Delta IBD\left(cmt\right)\))
\(\widehat{BAC}=\widehat{BIK}\left(=90^o\right)\)
=> \(\Delta BAC=\Delta BIK\left(g.c.g\right)\)
=> \(\Delta BCK\) cân tại B
Ta có: \(\widehat{BKC}=\widehat{BCK}=\dfrac{180^{^O}-\widehat{B}}{2}\) (tổng 3 góc của 1 tam giác) (2)
Từ (1) và (2) => \(\widehat{BAI}=\widehat{BKC}\left(=\dfrac{180^{^O}-\widehat{B}}{2}\right)\)
Mà thấy : 2 góc này ở vị trí đồng vị
=> AI // KC
=> đpcm.
e) Ta có : BD là tia phân giác của \(\widehat{ABC}\) (gt) (3)
Xét \(\Delta BEK,\Delta BEC\) có :
\(BK=BC\) (\(\Delta BCK\) cân tại B)
\(\widehat{KBE}=\widehat{CBE}\) (gt)
\(KE=EC\) (E là trung điểm của BC)
=> \(\Delta BEK=\Delta BEC\left(c.g.c\right)\)
=> \(\widehat{KBE}=\widehat{CBE}\) (2 góc tương ứng)
=> BE là tia phân giác của \(\widehat{KBC}\)
Hay : BE là tia phân giác của \(\widehat{ABC}\) (4)
Từ (3) và (4) => B, D, E thẳng hàng
=> đpcm
g) Xét \(\Delta ABC\perp A\) có :
\(BC^2=AB^2+AC^2\) (định lí PITAGO)
=> \(BC^2=6^2+8^2=100\)
=> \(BC=\sqrt{100}=10\left(cm\right)\)
Mà : \(\left\{{}\begin{matrix}AB=IB\left(cmt\right)\\I\in BC\left(gt\right)\end{matrix}\right.\)
=> \(BI+IC=BC\)
=> \(6+IC=10\)
=> IC = 4 (cm)
Vậy độ dài của IC là 4cm.
