Question

cho tam giác ABC vuông tại A, AH vuông với BC tại H. Vẽ trung tuyến AM. Kẻ HD vuông góc với AB tại D, HE vuông góc với AC tại E. Biết BH =4,5 cm ; HC = 8cm.

a) Tính AH,AB,AC

b) Chứng minh góc BAH = góc MAC; tính góc MAC

c) Chứng minh AM vuông góc DE tại K

giúp em câu b,c với ạ

Answer 1

a: BC=4,5+8=12,5(cm)

\(AH=\sqrt{BH\cdot HC}=6\left(cm\right)\)

\(AB=\sqrt{4.5\cdot12.5}=7.5\left(cm\right)\)

\(AC=\sqrt{BC^2-AB^2}=10\left(cm\right)\)

b: \(\widehat{BAH}+\widehat{ABH}=90^0\)

\(\widehat{C}+\widehat{ABH}=90^0\)

Do đó: \(\widehat{BAH}=\widehat{C}\left(1\right)\)

Ta có: ΔABC vuông tại A

mà AM là đường trung tuyến

nên MA=MC

=>ΔMAC cân tại M

=>\(\widehat{MAC}=\widehat{C}\left(2\right)\)

Từ (1) và (2) suy ra \(\widehat{MAC}=\widehat{BAH}\)

c: Xét tứ giác ADHE có \(\widehat{ADH}=\widehat{AEH}=\widehat{DAE}=90^0\)

nên ADHE là hình chữ nhật

Suy ra: ADHE là tứ giác nội tiếp đường tròn đường kính AH

Gọi O là trug điểm của AH

Xét (O) có

\(\widehat{DEA}\) là góc nội tiếp chắn cung AD

\(\widehat{AHD}\) là góc nội tiếp chắn cung AD

Do đó: \(\widehat{DEA}=\widehat{AHD}\)

=>\(\widehat{KEA}=\widehat{B}\)

\(\widehat{KEA}+\widehat{KAE}=\widehat{C}+\widehat{B}=90^0\)

=>\(\widehat{AKE}=90^0\)

=>AM\(\perp\)DE tại K