-Ta có: \(\widehat{BAH}=90^0-\widehat{ABC}\)( xét \(\Delta BAH\)) (1)
-Mặt khác: \(\widehat{C}=90^0-\widehat{ABC}\)(xét \(\Delta ABC\)) (2)
(1),(2)\(\Rightarrow\)\(\widehat{BAH}=\widehat{C}\)
Xét \(\Delta BCD\) và \(\Delta BAO\)
có: \(\widehat{BAH}=\widehat{C}\)(cmt)
\(\widehat{ABD}=\widehat{CBD}\)(p/g)
\(\Rightarrow\)\(\Delta BCD\wr\Delta BAO\)(g-g)
\(\Rightarrow\dfrac{BD}{BO}=\dfrac{CD}{AO}\) (3)
tương tự\(\Rightarrow\Delta BAD\wr\Delta BHO\)(g-g)
\(\Rightarrow\dfrac{AD}{HO}=\dfrac{BD}{BO}\) (4)
(3),(4)\(\Rightarrow\dfrac{HO}{AO}=\dfrac{AD}{CD}\)(ĐPCM)
Ta có: BD là phân giác góc B
=> góc ABO= góc DBC
Ta có AH vuông góc BC
=>góc AHC=90 độ
=>góc ACH+ góc HAC=90 độ (1)
mà góc BAH+ góc HAC=90 độ (2)
từ (1) và (2) => góc BAH= góc ACH
Xét tam giác BAO và tam giác BCD có:
góc ABO =góc DBC (cmt)
góc BAH= góc ACH (cmt)
=>tam giác BAO đồng dạng tam giác BCD (g-g)
=>OA/CD= OB/BD (I)
Xét tam giác BAD và tam giác BHO có:
góc ABO= góc DBC (cmt)
góc BAD= góc BHO (= 90 độ)
=> Tam giác BAD đồng dạng tam giác BHO (g-g)
=>OH/AD= OB/BD (II)
từ (I) và (II) => OA/CD= OH/AD =>OA.AD=CD.OH
hay OH/OA= AD/DC