Cho tam giác ABC vuông tại A, AB<AC, phân giác BE của góc B. Lấy điểm H thuộc BC sao cho BH=BA
a) Chứng minh EH vuông góc BC
b) Chứng minh BE là đường trung trực của AH
c) Đường thẳng EH cắt đường thẳng AB ở K. Chứng minh EK=EC
d) Chứng minh AH//KC
e) Gọi M là trung điểm của KC. Chứng minh 3 điểm B,E,M thẳng hàng
a) Xét \(\Delta ABE,\Delta HBE\) có:
\(AB=BH\left(gt\right)\)
\(\widehat{ABE}=\widehat{HBE}\) (BE là tia phân giác của \(\widehat{B}\) )
\(BE:Chung\)
=> \(\Delta ABE=\Delta HBE\left(c.g.c\right)\)
=> \(\widehat{BAE}=\widehat{BHE}=90^o\) (2 góc tương ứng)
Do đó: \(EH\perp BC\) (đpcm)
b) Xét \(\Delta ABH\) có:
\(AB=BH\left(gt\right)\)
=> \(\Delta ABH\) cân tại B
Mà thấy : BE là tia phân giác của \(\widehat{B}\) (gt)
Suy ra : BE đồng thời là đường trung trực trong \(\Delta ABH\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}AE=EH\\BE\perp AH\end{matrix}\right.\) (tính chất đường trung trực)
Do đó : BE là đường trung trực của AH => đpcm
c) Ta chứng minh được : \(\Delta BEK=\Delta BEC\left(c.g.c\right)\)
Suy ra : \(EK=EC\left(đpcm\right)\)
d) Xét \(\Delta BAH\) cân tại B (cmt) có :
\(\widehat{BAH}=\widehat{BHA}=\dfrac{180^{^O}-\widehat{B}}{2}\left(1\right)\)
Xét \(\Delta BKC\) có :
\(BK=BC\)[ \(\Delta BEK=\Delta BEC\left(cmt\right)\)]
=> \(\Delta BKC\) cân tại B
Ta có: \(\widehat{BKC}=\widehat{BCK}=\dfrac{180^{^O}-\widehat{B}}{2}\left(2\right)\)
Từ (1) và (2) => \(\widehat{BAH}=\widehat{BKC}\left(=\dfrac{180^{^O}-\widehat{B}}{2}\right)\)
Lại thấy rằng : 2 góc này ở vị trí đồng vị
=> \(AH//KC\left(đpcm\right)\)
e) Xét \(\Delta EKC\) có :
\(EK=EC\left(câuc\right)\)
=> \(\Delta EKC\) cân tại E
Mà có : EM là trung tuyến trong \(\Delta EKC\) (KM = MC)
=> E, M thẳng hàng (3)
Lại có : BE là trung trực trong \(\Delta ABH\) (câub)
=> B,E thẳng hàng (4)
Từ (3) và (4) => \(B,E,M\) thẳng hàng (đpcm)
