Question

CHo tam giác ABC vuông tại A (AB>AC); đường cao Ah. Trên nửa mặt phẳng chứa A bờ BC vẽ nửa đường tròn tâm O đường kính BH cắt AB tại E và nửa đg tròn đg kính HC cắt AC tại F.

a) cm AEHF là hình chữ nhật

b) cm AE.AB = AC.AF

c) cm BEFC nội tiếp

d) cm OA vuông góc với EF

Answer 1

a)Ta có \(\widehat{BEH}=90^0\) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

\(\widehat{FHC}=90^0\)(góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

Xét tứ giác AFHE , ta có:

\(\widehat{EAF}=90^0\) (tam giác ABC vuông tại A)

\(\widehat{AEH}=90^0\) (cmt)

\(\widehat{AFH}=90^0\) (cmt)

=> Tứ giác AFHE là hình chữ nhật (tứ giác có 3 góc vuông)

b)Gọi I là giao điểm của AH và EF

Ta có: AH=EF (hình chữ nhật AFHE) (1)

mà 2 đường chéo AH và EF cắt nhau tại I

=>I là trung điểm của AH và EF (2)

Từ (1) và (2)=> \(IE=IH=IA=IF\)

Ta có: \(\widehat{IHF} =\widehat{ACH}\) (phụ với \(\widehat{HAC}\))

mà \(\widehat{IHF}=\widehat{IFH}\) (tam giác IHF cân tại I (IH=IF) )

=>\(\widehat{ACH}=\widehat{IFH}\) (cùng bằng \(\widehat{IHF}\))

mà \(\widehat{IHF}=\widehat{AEF}\) (2 góc so le trong của AE song song HF(cùng vuông góc AC))

=>\(\widehat{AEF}=\widehat{ACH}\)

=> Tứ giác BEFC nội tiếp đường tròn