Lời giải:
a)
Xét tam giác $ABC$ và $HBA$ có:
\(\left\{\begin{matrix} \widehat{BAC}=\widehat{BHA}=90^0\\ \text{Chung góc B}\end{matrix}\right.\Rightarrow \triangle ABC\sim \triangle HBA(g.g)\)
b) Từ kết quả hai tam giác đồng dạng phần a ta có:
\(\frac{AB}{BC}=\frac{HB}{BA}\Rightarrow AB^2=BC.BH\)
c)
Áp dụng định lý Pitago:
\(BC=\sqrt{AB^2+AC^2}=400\Rightarrow BC=20\) (cm)
Theo tính chất đường phân giác trong ta có:
\(\frac{AD}{DC}=\frac{AB}{BC}=\frac{12}{20}=\frac{3}{5}\)
\(\Leftrightarrow \frac{AD}{AC-AD}=\frac{3}{5}\Leftrightarrow \frac{AD}{16-AD}=\frac{3}{5}\)
\(\Rightarrow AD=6\) (cm)
d) Xét tam giác $BAE$ và $BCD$ có:
\(\left\{\begin{matrix} \widehat{ABE}=\widehat{CBD}(=\frac{\widehat{ABC}}{2})\\ \widehat{BAE}=\widehat{BCD}(=90-\widehat{ABC})\end{matrix}\right.\)
Do đó: \(\triangle BAE\sim \triangle BCD(g.g)\)
\(\Rightarrow \frac{BE}{BA}=\frac{BD}{BC}\Leftrightarrow \frac{BE}{BD}=\frac{BA}{BC}\)
Mà theo tính chất đg phân giác thì: \(\frac{BA}{BC}=\frac{DA}{DC}\Rightarrow \frac{BE}{BD}=\frac{DA}{DC}\)
hay \(BE.DC=DB.DA\)
Ta có đpcm.
