cho tam giác ABC vuông tại A ( AB < AC ) có trung tuyến AM . Kẻ MN \(\perp\)AB và MP\(\perp\) AC (N \(\in\) AB ; P \(\in\)AC)
Tứ giác ANMP là hình gì
CM : NA = NB ; PA = PC và tứ giác BMPN là hình bình hành
Gọi E la trung điểm BM ; F là giao điểm của AM và PN . CM :
+Tứ giác ABEF la hình thang cân
+Tứ giác MENF la hình thoi
Kẻ đường cao AH của tam giác ABC , MK // AH ( K \(\in\) AC ) . CM: BK \(\perp\)HN.
Gọi giao điểm của BK và NH là I
+)
MNA = NAP = APM = 900 (gt)
=> ANMP là hcn
+)
M là trung điểm của BC (gt)
MN // AC (MN _I_ AB và AC _I_ AB)
=> N là trung điểm của AB
=> NA = NB
+)
M là trung điểm của BC (gt)
MP // AB (MP _I_ AC và AB _I_ AC)
=> P là trung điểm của AC
=> PA = PC
+)
AN = MP (ANMP là hcn)
AN = NB (chứng minh trên)
=> MP = NB
mà MP // NB (chứng minh trên)
=> BMPN là hbh
+)
E là trung điểm của BM (gt)
F là trung điểm của AM (ANMP là hcn)
=> EF là đường trung bình của tam giác ABM
=> EF // AB
=> ABEF là hình thang
BM = PN (BMPN là hbh)
AM = PN (ANMP là hcn)
=> BM = AM
BE = EM = BM : 2 (E là trung điểm của BM)
AF = FM = AM : 2 (F là trung điểm của AM)
mà BM = AM (chứng minh trên)
=> BE = EM = AF = FM
=> ABEF là hình thang cân
+)
F là trung điểm của NP (ANMP là hcn)
=> NF = NP : 2
EM = BM : 2 (E là trung điểm của BM)
mà NP = BM (BMPN là hbh)
=> NF = ME
mà NF // ME (BMPN là hbh)
=> MENF là hbh
mà EM = MF (chứng minh trên)
=> MENF là hình thoi
+)
AH _I_ BC (gt)
AH // KM
=> KM _I_ BC tại M là trung điểm của BC
=> KM là đường trung trực của BC
=> KB = KC
=> Tam giác KBC cân tại K
=> KBC = KCB
Tam giác HAB vuông tại có HN là đường trung tuyến (N là trung điểm của BC)
=> HN = AB : 2
mà BN = AB : 2 (N là trung điểm của BC)
=> HN = BN
=> Tam giác NBH cân tại N
=> NBH = NBH
Tam giác ABC vuông tại A có:
ABC + ACB = 900
Tam giác IBH có:
BIH + IBH + IHB = 1800
BIH + ACB + ABC = 1800
BIH + 900 = 1800
BIH = 1800 - 900
BIH = 900
=> NH _I_ KM tại I
bạn tự vẽ hình nhé!
Tứ giác ANMP có :
góc A = góc N = góc P = 90 độ
=> ANMP là hình chữ nhật
Xét tam giác ABC có :
MB = MC ( M là trung điểm BC)
MP // AB ( cùng \(\perp\) AC)
=> N là trung điểm AB hay NA = NB
Tương tự có:
MB = MC
MP // AB
=> P là trung điểm AC hay PA = PC
Xét tứ giác BMPN có:
AN = PM ( ANMP là hình chữ nhật)
AN // PM ( AB // MP)
=> BMPN là hình bình hành
Có E là trung điểm của BM
F là trung điểm của AM ( ANMP là hình chữ nhật)
=> EF là đường trung bình của tam giác ABM
=> EF // AB (1)
Tam giác vuông ABC có AM là trung tuyến nên AM = BM = \(\frac{1}{2}\) BC
AF = FM = \(\frac{1}{2}\)AM
BE = EM = \(\frac{1}{2}\)BM
mà AM = BM ( cmt)
=> AF = FM = BE = EM (2)
Tứ (1) và (2) suy ra :
ABEF là hình thang cân
Có NF = \(\frac{1}{2}\) NP ; EM = \(\frac{1}{2}\) BM
mà NP = BM và NP // BM ( cạnh đối hình bình hành BMPN)
=> NF = EM , NF //EM
=> MENF là hình bình hành có EM = FM ( chứng minh ở chỗ hình thang cân)
=> MENF là hình thoi.
