a) Xét \(\Delta ABC\) vuông tại \(A\left(gt\right)\) có:
\(BC^2=AB^2+AC^2\) (định lí Py - ta - go).
=> \(BC^2=5^2+12^2\)
=> \(BC^2=25+144\)
=> \(BC^2=169\)
=> \(BC=13\left(cm\right)\) (vì \(BC>0\)).
+ Vì \(AM\) là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền \(BC\) trong tam giác vuông \(ABC\left(gt\right)\)
=> \(AM=\frac{1}{2}BC\) (tính chất tam giác vuông).
=> \(AM=\frac{1}{2}.13\)
=> \(AM=6,5\left(cm\right).\)
b) Vì \(AM\) là đường trung tuyến của \(\Delta ABC\left(gt\right)\)
=> \(M\) là trung điểm của \(BC\) (1).
+ Vì D đối xứng với A qua \(M\left(gt\right)\)
=> \(M\) là trung điểm của \(AD\) (2).
Từ (1) và (2) => 2 đường chéo \(BC\) và \(AD\) cắt nhau tại trung điểm M của mỗi đường.
=> Tứ giác \(ABDC\) là hình bình hành (dấu hiệu nhận biết hình bình hành).
Mà \(\widehat{BAC}=90^0\left(gt\right)\)
=> Hình bình hành \(ABDC\) là hình chữ nhật (dấu hiệu nhận biết hình chữ nhật).
=> \(AD=BC\) (tính chất hình chữ nhật).
c) Theo câu b) ta có \(ABDC\) là hình chữ nhật.
Để hình chữ nhật \(ABDC\) là hình vuông.
\(\Leftrightarrow AB=AC.\)
\(\Rightarrow\Delta ABC\) cân tại A.
Mà \(\Delta ABC\) vuông tại \(A\left(gt\right)\)
=> \(\Delta ABC\) vuông cân tại A.
Vậy \(\Delta ABC\) vuông cân tại A thì hình chữ nhật \(ABDC\) là hình vuông.
Chúc bạn học tốt!
