Cho tam giác ABC vuông ở A. Trên cạnh BC lấy điểm D sao cho BD=AB. Qua D kẻ đường thẳng vuông góc với BC, đường thẳng này cắt cạnh AC tại E
a) Tính độ dài cạnh AC nếu cho AB=3cm, BC=5cm
b)Chứng minh BE là đường trung trực của đoạn thẳng AD
c) So sánh độ dài hai đoạn thẳng AE và EC
d) Hạ AK \(\perp\) BC (K\(\in\)BC) . Gọi giao điểm của AK và BE là H. Chứng minh DH song song với AC
e) Chứng minh DK<DC
Giúp mình với !!!!!Mình đang cần gấp !!!! Thanks mn
a) \(\Delta ABC\) vuông tại A theo định lí Py-ta-go
Ta có: BC2 = AB2 + AC2
\(\Rightarrow\) AC2 = BC2 - AB2
AC2 = 52 - 32
AC2 = 16
\(\Rightarrow\) AC = \(\sqrt{16}=4\left(cm\right)\)
b) Xét hai tam giác vuông ABE và DBE có:
AB = BD (gt)
BE: cạnh chung
Vậy: \(\Delta ABE=\Delta DBE\left(ch-cgv\right)\)
Suy ra: AE = DE (hai cạnh tương ứng) (1)
Mà AB = BD (gt) (2)
Từ (1) và (2) suy ra:
BE là đường trung trục của đoạn thẳng AD (đpcm)
c) Vì \(\Delta EDC\) vuông tại D
\(\Rightarrow\) DE < EC (đường vuông góc ngắn hơn đường xiên)
Mà AE = DE (cmt)
Do đó: AE < EC
e) Vì \(\Delta AKC\) vuông tại K
\(\Rightarrow\) AK < AC (đường vuông góc ngắn hơn đường xiên)
\(\Rightarrow\) DK < DC (quan hệ giữa đường xiên và hình chiếu của chúng).
Gọi giao điểm của AB và DH là M và giao điểm của BE và AD là I
Vì BE là đường trung trực của AD hay BI là đường trung trực của AD
=>IA=ID và BI\(\perp\)AD
Xét 2\(\Delta\)vuông: \(\Delta\)AIH và \(\Delta\)DIH,có:
HI:cạnh chung
IA=ID(cmt)
=>\(\Delta\)AIH=\(\Delta\)DIH(c.g.c)
=>^AHI=^DHI(2 góc tương ứng)(1)
Lại có:
^AHI=^BHK(2 góc đối đỉnh)(2)
^DHI=^BHM(3)
Từ (1),(2) và (3)
=>^BHK=^BHM
Vì \(\Delta\)BAD cân tại B(do AB=DB)
Mà BI là đường trung trực của \(\Delta\)BAD
=>BI đồng thời là đường phân giác của \(\Delta\)BAD
=>^ABI=^DBI hay ^MBH=^KBH
Xét \(\Delta\)BHM và \(\Delta\)BHK , có:
^MBH=^KBH(cmt)
BH:cạnh chung
^BHM=^BHK(cmt)
=>\(\Delta\)BHM=\(\Delta\)BHK(g.c.g)
=>^BMH=^BKH(2 góc tương ứng)
=>^BMH=900
=>HD\(\perp\)AB
Mà AC \(\perp\)AB( do \(\Delta\)ABC vuông tại A)
=>HD//AC
Vậy HD//AC
