Question

cho tam giác ABC vuông ở A( AB< AC ) , đường cao AH . Gọi D là điểm đối xứng của A qua H . Đường thẳng kẻ qua D song song với AB cắ BC và AC lần lượt ở M , N . C/m

a. tứ giác ABDM là hình thoi

b . AM ​vuông góc với CD

c, Gọi I là trung điểm của MC , c/m IN vuông góc với HN

Answer 1

a) vì DM//AB (gt)

=> \(\widehat{A1}=\widehat{D1}\)(so le trong )

* Xét △AHB và △DHM có

\(\widehat{H1}=\widehat{H2}\left(=90^0\right)\)

AH =HD (D đối xứng với A qua H )

\(\widehat{A1}=\widehat{D1}\left(cmt\right)\)

=> △AHB = △DHM (g.c.g)

=> BH = MH (2 cạnh t/ứng )

* xét tứ giác ABDM có

AH=HD (d đối xứng với A qua H)

BH=MH (cmt)

=> ABDH là hình bình hành (tứ giác có 2 đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường)

mà AD ⊥BM

=> ABDM là hình thoi (hbh có 2 đường chéo vuông góc với nhau )(đpcm)

b) vì

+DN//AB (gt)

+AB ⊥AC (△ABC vuông tại A)

=> AC ⊥DN (qh từ vuông góc đến song song )

=> DN là đường cao △ ADC(1)

mà AD ⊥CH ( AH ⊥AC)

=> CH là đường cao của △ADC

từ (1) và (2) => M là trực tâm của △ADC

=> AM là đường cao

=> AM ⊥DC (đpcm)

Answer 2

c)*ta cs

+AH=HD (gt)

=> CH là đường trung tuyến

+ CH là đường cao của △ADC

=> △ADC cân tại C

=> M là trọng tâm

=> \(HM=\dfrac{1}{3}HC\) (3)

và \(MC=\dfrac{2}{3}HC\)

=> \(MI+MC=\dfrac{2}{3}HC\)

mà MI=MC

=> MI=MC=\(\dfrac{2}{3}HC:2=\dfrac{1}{3}HC\)(4)

từ (3) và (4) ta có HM=MI

* vì ABDM là hình thoi (theo a)

vì △ACD cân

=> AK là đường phân giác

=> \(\widehat{HAM}=\widehat{MAN}\)

* xét △ HAM và NAM có

\(\widehat{H}=\widehat{N}=\left(90^0\right)\)

AM cạnh chung

\(\widehat{HAM}=\widehat{NAM}\left(cmt\right)\)

=> △HAM = △NAM (ch-gn)

=> HM =NM

* xét △HNI có

HM=NM

HM =IM

=> △HNI vuông tại A (tính chất đường trung tuyến của tam giác vuông)

=> IN ⊥HN(đpcm)