Cho tam giác ABC vuông cân tại A,M là trung điểm của BC.Trên đoạn thẳng MC lấy điểm D tùy ý (khác M và C)..Gọi H và I theo thứ tự là hình chiếu của B và C trên đường thẳng AD.Hai đường thẳng AM và BH cắt nhau tại K.Chứng minh:
a)ABH^=CAI^
b)AH=CI
c)Đường thẳng DK vuông góc với đường thẳng AB
d)Tổng AH^2+AI^2 không phụ thuộc vào vị trí điểm D và AH^2+AI^2=BM^2+CM^2.
a) ΔABH vuông tại H
\(\Rightarrow\widehat{ABH}+\widehat{BAH}=90^0\left(1\right)\)
Có: \(\widehat{BAH}+\widehat{IAC}=90^0\left(=\widehat{BAC}\right)\left(2\right)\)
Từ (1) và (2) \(\Rightarrow\widehat{ABH}=\widehat{IAC}\)
b/
Xét 2 tam giác vuông ΔABH và ΔCAI ta có:
Cạnh huyền AB = AC (GT)
\(\widehat{ABH}=\widehat{IAC}\left(cmt\right)\)
=> ΔABH = ΔCAI (c.h - g.n)
=> AH = CI (2 cạnh tương ứng)
c/ ΔABC cân tại A có AM là đường trung tuyến
=> AM là đường cao của ΔABC
=> AM ⊥ BC
Hay: AM ⊥ BD
ΔABD có:
+) AM ⊥ BD
+) BH ⊥ AD
+) \(BH\cap AM=\left\{K\right\}\)
=> K là trực tâm của ΔABD
=> DK ⊥ AB
