Violympic toán 8

Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài
Bướm Đêm Sát Thủ

cho tam giác ABC và O là mọt điểm bất kì trong tam giác.Các tia AO,BO,CO cắt các cạnh BC,CA,AB thứ tự tại các điểm P,Q,R.Chứng minh \(\dfrac{OA}{OP}.\dfrac{OB}{OQ}.\dfrac{OC}{OR}\ge8\)

Nguyễn Xuân Tiến 24
7 tháng 4 2018 lúc 16:23

Lời giải:

A B C O P Q R Đặt \(S_{BOC}=S_1;S_{AOC}=S_2;S_{AOB}=S_3;S_{ABC}=S\)

Ta có \(\dfrac{OA}{OP}=\dfrac{S_{AOB}}{S_{POB}}=\dfrac{S_{AOC}}{S_{POC}}=\dfrac{S_{AOB}+S_{AOC}}{S_{COB}}=\dfrac{S_2+S_3}{S_1}\)

Tương tự:\(\dfrac{OB}{OQ}=\dfrac{S_3+S_1}{S_2};\dfrac{OC}{OR}=\dfrac{S_1+S_2}{S_3}\)

\(\Rightarrow\dfrac{OA}{OP}.\dfrac{OB}{OQ}.\dfrac{OC}{OR}=\dfrac{\left(S_1+S_2\right)\left(S_2+S_3\right)\left(S_3+S_1\right)}{S_1.S_2.S_3}\ge\)

\(\ge\dfrac{2\sqrt{S_1.S_2}.2\sqrt{S_2.S_3}.2\sqrt{S_3.S_1}}{S_1.S_2.S_3}=8\)

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow S_1=S_2=S_3\Leftrightarrow\) O là giao điểm ba đường trung tuyến tam giác ABC


Các câu hỏi tương tự
Online Math
Xem chi tiết
Big City Boy
Xem chi tiết
Hày Cưi
Xem chi tiết
Nam Phạm An
Xem chi tiết
vvvvvvvv
Xem chi tiết
Trí Phạm
Xem chi tiết
VĂN LƯƠNG NGỌC DUYÊN
Xem chi tiết
ITACHY
Xem chi tiết
Mai Huyền My
Xem chi tiết