Violympic toán 9

Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài
Hàn Băng Di

Cho tam giác ABC, O là điểm bất kì nằm tring tamm giác. Các tia AO, BO, CO cắt BC, CA, AB tại P, Q, R. Chứng minh: \(\sqrt{\dfrac{OA}{OP}}+\sqrt{\dfrac{OB}{OQ}}+\sqrt{\dfrac{OC}{OR}}\ge3\sqrt{2}\)

Phạm Mỹ Châu
25 tháng 7 2018 lúc 16:25

B A C O R Q P

Đặt \(S_{AOC}=x^2;S_{BOC}=y^2;S_{AOB}=z^2\) \(\left(x,y,z>0\right)\)

* Ta thấy tam giác AOB và BOP có chung đường cao kẻ từ B

\(\Rightarrow\dfrac{S_{AOB}}{S_{BOP}}=\dfrac{OA}{OP}\). Tương tự \(\dfrac{S_{AOC}}{S_{COP}}=\dfrac{OA}{OP}\)

\(\Rightarrow\dfrac{OA}{OP}=\dfrac{S_{AOB}}{S_{BOP}}=\dfrac{S_{AOC}}{S_{COP}}=\dfrac{S_{AOB}+S_{AOC}}{S_{BOP}+S_{COP}}=\dfrac{x^2+z^2}{y^2}\)

Tương tự \(\dfrac{OB}{OQ}=\dfrac{y^2+z^2}{x^2};\dfrac{OC}{OR}=\dfrac{x^2+y^2}{z^2}\)

* Áp dụng BĐT cau-chy ta có

\(\dfrac{x^2}{y^2}+\dfrac{z^2}{y^2}\ge2\sqrt{\dfrac{x^2z^2}{y^4}}=\dfrac{2xz}{y^2}\) .

Tương tự \(\dfrac{y^2+z^2}{x^2}\ge\dfrac{2yz}{x^2}\) ; \(\dfrac{x^2+y^2}{z^2}\ge\dfrac{2xy}{z^2}\)

\(\Rightarrow A=\dfrac{x^2+z^2}{y^2}.\dfrac{y^2+z^2}{x^2}.\dfrac{x^2+y^2}{z^2}\ge8\)

\(\sqrt{\dfrac{OA}{OP}}+\sqrt{\dfrac{OB}{OQ}}+\sqrt{\dfrac{OC}{OR}}\ge3\sqrt[3]{\sqrt{A}}=3\sqrt{2}\) - đpcm


Các câu hỏi tương tự
Hàn Băng Di
Xem chi tiết
Phương Nguyễn Ngọc Mai
Xem chi tiết
Nguyễn Khánh Toàn
Xem chi tiết
Dung Phan
Xem chi tiết
Ngô thừa ân
Xem chi tiết
Triết
Xem chi tiết
Nguyễn Đặng Việt Tuấn
Xem chi tiết
Vũ Tiền Châu
Xem chi tiết
Nguyễn Kim Hoàng Anh
Xem chi tiết